Номер 8.23, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.23, страница 236.
№8.23 (с. 236)
Условие. №8.23 (с. 236)
скриншот условия

8.23 a) $(x + 2\sqrt{x})^2 - 4x\sqrt{x} = -3;$
б) $(x + \sqrt{x})^2 - 2x\sqrt{x} = 6;$
в) $(x - 2\sqrt{x})^2 + 4x\sqrt{x} = 5;$
г) $(x - \sqrt{x})^2 + 2x\sqrt{x} = 30.$
Решение 1. №8.23 (с. 236)




Решение 2. №8.23 (с. 236)


Решение 4. №8.23 (с. 236)
а) $(x + 2\sqrt{x})^2 - 4x\sqrt{x} = -3$
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Далее раскроем скобки в левой части уравнения, применив формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 2\sqrt{x}$:
$(x + 2\sqrt{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x$.
Подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:
$(x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x) - 4x\sqrt{x} = -3$.
Упростим уравнение. Члены $4x\sqrt{x}$ и $-4x\sqrt{x}$ взаимно уничтожаются:
$x^2 + 4x = -3$.
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x + 3 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Легко подобрать корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$.
Корень $x_2 = -3$ также не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$.
Следовательно, у уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет корней.
б) $(x + \sqrt{x})^2 - 2x\sqrt{x} = 6$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + \sqrt{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = x^2 + 2x\sqrt{x} + x$.
Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 + 2x\sqrt{x} + x) - 2x\sqrt{x} = 6$.
Упрощаем, сокращая $2x\sqrt{x}$ и $-2x\sqrt{x}$:
$x^2 + x = 6$.
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $2$.
в) $(x - 2\sqrt{x})^2 + 4x\sqrt{x} = 5$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 2\sqrt{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = x^2 - 4x\sqrt{x} + 4x$.
Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 - 4x\sqrt{x} + 4x) + 4x\sqrt{x} = 5$.
Упрощаем, сокращая $-4x\sqrt{x}$ и $4x\sqrt{x}$:
$x^2 + 4x = 5$.
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, произведение равно $-5$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $1$.
г) $(x - \sqrt{x})^2 + 2x\sqrt{x} = 30$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - \sqrt{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = x^2 - 2x\sqrt{x} + x$.
Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 - 2x\sqrt{x} + x) + 2x\sqrt{x} = 30$.
Упрощаем, сокращая $-2x\sqrt{x}$ и $2x\sqrt{x}$:
$x^2 + x = 30$.
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x - 30 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-30$. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.23 расположенного на странице 236 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.23 (с. 236), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.