Номер 8.23, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.23, страница 236.

Условие.

8.23 a) $(x + 2\sqrt{x})^2 - 4x\sqrt{x} = -3;$

б) $(x + \sqrt{x})^2 - 2x\sqrt{x} = 6;$

в) $(x - 2\sqrt{x})^2 + 4x\sqrt{x} = 5;$

г) $(x - \sqrt{x})^2 + 2x\sqrt{x} = 30.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(x + 2\sqrt{x})^2 - 4x\sqrt{x} = -3$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Далее раскроем скобки в левой части уравнения, применив формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 2\sqrt{x}$:
$(x + 2\sqrt{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:
$(x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x) - 4x\sqrt{x} = -3$.

Упростим уравнение. Члены $4x\sqrt{x}$ и $-4x\sqrt{x}$ взаимно уничтожаются:
$x^2 + 4x = -3$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x + 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Легко подобрать корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$.
Корень $x_2 = -3$ также не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$.
Следовательно, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: нет корней.

б) $(x + \sqrt{x})^2 - 2x\sqrt{x} = 6$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + \sqrt{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = x^2 + 2x\sqrt{x} + x$.

Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 + 2x\sqrt{x} + x) - 2x\sqrt{x} = 6$.

Упрощаем, сокращая $2x\sqrt{x}$ и $-2x\sqrt{x}$:
$x^2 + x = 6$.

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $2$.

в) $(x - 2\sqrt{x})^2 + 4x\sqrt{x} = 5$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 2\sqrt{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = x^2 - 4x\sqrt{x} + 4x$.

Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 - 4x\sqrt{x} + 4x) + 4x\sqrt{x} = 5$.

Упрощаем, сокращая $-4x\sqrt{x}$ и $4x\sqrt{x}$:
$x^2 + 4x = 5$.

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, произведение равно $-5$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $1$.

г) $(x - \sqrt{x})^2 + 2x\sqrt{x} = 30$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - \sqrt{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = x^2 - 2x\sqrt{x} + x$.

Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 - 2x\sqrt{x} + x) + 2x\sqrt{x} = 30$.

Упрощаем, сокращая $-2x\sqrt{x}$ и $2x\sqrt{x}$:
$x^2 + x = 30$.

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x - 30 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-30$. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $5$.