Номер 8.17, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.17, страница 233.

Условие.

8.17* a) $ \log_3(2 \cdot 3^x - 5) = \log_3(3^x + 4); $

б) $ \log_7(2 \cdot 4^x - 3) = \log_7(4^x + 1); $

в) $ \log_5(4^x - 3 \cdot 2^x) = \log_5(3 \cdot 2^x - 8); $

г) $ \log_4(9^x - 5 \cdot 3^x) = \log_4(7 \cdot 3^x - 27). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_3(2 \cdot 3^x - 5) = \log_3(3^x + 4)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы. Это преобразование является равносильным при условии, что аргументы логарифмов положительны.
$2 \cdot 3^x - 5 = 3^x + 4$
Введем замену: пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
$2t - 5 = t + 4$
$2t - t = 4 + 5$
$t = 9$
Возвращаемся к исходной переменной:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$
Теперь выполним проверку, подставив найденное значение $x=2$ в аргументы исходных логарифмов, чтобы убедиться, что они положительны (область допустимых значений, ОДЗ):
1) $2 \cdot 3^2 - 5 = 2 \cdot 9 - 5 = 18 - 5 = 13 > 0$
2) $3^2 + 4 = 9 + 4 = 13 > 0$
Оба условия выполняются, следовательно, корень $x=2$ является решением уравнения.
Ответ: $2$

б) $\log_7(2 \cdot 4^x - 3) = \log_7(4^x + 1)$

Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания одинаковы:
$2 \cdot 4^x - 3 = 4^x + 1$
Сделаем замену: пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.
$2t - 3 = t + 1$
$2t - t = 1 + 3$
$t = 4$
Выполняем обратную замену:
$4^x = 4$
$x = 1$
Проверяем ОДЗ для $x=1$:
1) $2 \cdot 4^1 - 3 = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 > 0$
2) $4^1 + 1 = 4 + 1 = 5 > 0$
Оба аргумента положительны, значит, $x=1$ является решением.
Ответ: $1$

в) $\log_5(4^x - 3 \cdot 2^x) = \log_5(3 \cdot 2^x - 8)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$4^x - 3 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^x - 8$
Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Введем замену: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$t^2 - 3t = 3t - 8$
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 6$
$t_1 \cdot t_2 = 8$
Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 4$. Оба корня положительны.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $2^x = 2 \implies x_1 = 1$
2) $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_2 = 2$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$4^x - 3 \cdot 2^x > 0 \implies t^2 - 3t > 0 \implies t(t-3) > 0$
$3 \cdot 2^x - 8 > 0 \implies 3t - 8 > 0 \implies t > \frac{8}{3}$
Проверим $t_1=2$ (соответствует $x_1=1$):
$t_1 = 2$. Условие $t > \frac{8}{3}$ не выполняется, так как $2 < \frac{8}{3} \approx 2.67$. Следовательно, $x=1$ — посторонний корень.
Проверим $t_2=4$ (соответствует $x_2=2$):
$t_2 = 4$. Условие $t > \frac{8}{3}$ выполняется ($4 > \frac{8}{3}$).
Проверим второе условие: $t(t-3) > 0 \implies 4(4-3) = 4 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, решением является только $x=2$.
Ответ: $2$

г) $\log_4(9^x - 5 \cdot 3^x) = \log_4(7 \cdot 3^x - 27)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$9^x - 5 \cdot 3^x = 7 \cdot 3^x - 27$
Заметим, что $9^x = (3^x)^2$. Введем замену: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t^2 - 5t = 7t - 27$
$t^2 - 12t + 27 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 12$
$t_1 \cdot t_2 = 27$
Корни уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = 9$. Оба корня положительны.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $3^x = 3 \implies x_1 = 1$
2) $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x_2 = 2$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$9^x - 5 \cdot 3^x > 0 \implies t^2 - 5t > 0 \implies t(t-5) > 0$
$7 \cdot 3^x - 27 > 0 \implies 7t - 27 > 0 \implies t > \frac{27}{7}$
Проверим $t_1=3$ (соответствует $x_1=1$):
$t_1 = 3$. Условие $t > \frac{27}{7}$ не выполняется, так как $3 = \frac{21}{7} < \frac{27}{7} \approx 3.86$. Следовательно, $x=1$ — посторонний корень.
Проверим $t_2=9$ (соответствует $x_2=2$):
$t_2 = 9$. Условие $t > \frac{27}{7}$ выполняется ($9 > \frac{27}{7}$).
Проверим второе условие: $t(t-5) > 0 \implies 9(9-5) = 36 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, решением является только $x=2$.
Ответ: $2$