Номер 8.18, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.18, страница 233.

Условие.

8.18* а) $log_2(4^x - 2^{x+1} + 2) = x;$

б) $log_3(9^x - 3^{x+1} + 3) = x;$

в) $log_2(4^x + 2^{x+1} - 8) = x + 2;$

г) $log_5(25^x + 5^x - 5) = x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $log_2(4^x - 2^{x+1} + 2) = x$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению $4^x - 2^{x+1} + 2 = 2^x$ при условии, что выражение под знаком логарифма положительно: $4^x - 2^{x+1} + 2 > 0$.
Решим уравнение. Преобразуем его, используя свойства степеней $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2^x \cdot 2$:
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 2 = 2^x$
$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, тогда $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Корни этого квадратного уравнения, которые можно найти по теореме Виета, равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:
1) $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x_1 = 0$.
2) $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ).
Для $x=0$: $4^0 - 2^{0+1} + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 > 0$. Корень подходит.
Для $x=1$: $4^1 - 2^{1+1} + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 > 0$. Корень подходит.
Заметим, что проверка ОДЗ была не обязательна, так как мы решали уравнение $4^x - 2^{x+1} + 2 = 2^x$, а правая часть $2^x$ всегда положительна.

Ответ: $0; 1$.

б) $log_3(9^x - 3^{x+1} + 3) = x$

По определению логарифма, уравнение равносильно $9^x - 3^{x+1} + 3 = 3^x$ при условии $9^x - 3^{x+1} + 3 > 0$.
Решим уравнение. Используем свойства степеней $9^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$:
$(3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 3 = 3^x$
$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:
1) $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x_1 = 0$.
2) $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим корни по ОДЗ:
Для $x=0$: $9^0 - 3^{0+1} + 3 = 1 - 3 + 3 = 1 > 0$. Корень подходит.
Для $x=1$: $9^1 - 3^{1+1} + 3 = 9 - 9 + 3 = 3 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $0; 1$.

в) $log_2(4^x + 2^{x+1} - 8) = x + 2$

По определению логарифма, уравнение равносильно $4^x + 2^{x+1} - 8 = 2^{x+2}$ при условии $4^x + 2^{x+1} - 8 > 0$.
Решим уравнение. Используем свойства степеней $4^x = (2^x)^2$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ и $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$:
$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 8 = 4 \cdot 2^x$
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 2t - 8 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = -2$.

Так как $t = 2^x > 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 4$:
$2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.

Проверим найденный корень по ОДЗ:
Для $x=2$: $4^2 + 2^{2+1} - 8 = 16 + 8 - 8 = 16 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $2$.

г) $log_5(25^x + 5^x - 5) = x + 1$

По определению логарифма, уравнение равносильно $25^x + 5^x - 5 = 5^{x+1}$ при условии $25^x + 5^x - 5 > 0$.
Решим уравнение. Используем свойства степеней $25^x = (5^x)^2$ и $5^{x+1} = 5 \cdot 5^x$:
$(5^x)^2 + 5^x - 5 = 5 \cdot 5^x$
$(5^x)^2 - 4 \cdot 5^x - 5 = 0$

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 5$, $t_2 = -1$.

Так как $t = 5^x > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:
$5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

Проверим найденный корень по ОДЗ:
Для $x=1$: $25^1 + 5^1 - 5 = 25 + 5 - 5 = 25 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $1$.