Номер 8.25, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.25, страница 236.

Условие.

8.25 a) $\frac{x-1}{x^2+x-2} = -3;$

Б) $\frac{3x+21}{x^2+5x-14} = 1;$

В) $\frac{4x-8}{x^2-x-2} = 3;$

Г) $\frac{5x+15}{x^2-9} = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим уравнение $\frac{x-1}{x^2 + x - 2} = -3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + x - 2 \neq 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2$, решив уравнение $x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 1$.

Разложим знаменатель на множители, используя его корни: $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.
Подставим в исходное уравнение:
$\frac{x-1}{(x-1)(x+2)} = -3$.

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x-1)$:
$\frac{1}{x+2} = -3$.

Решим полученное линейное уравнение:
$1 = -3(x+2)$
$1 = -3x - 6$
$3x = -7$
$x = -\frac{7}{3}$.

Полученный корень $x = -\frac{7}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как не равен $-2$ и $1$.

Ответ: $-\frac{7}{3}$.

б)

Решим уравнение $\frac{3x + 21}{x^2 + 5x - 14} = 1$.

ОДЗ: $x^2 + 5x - 14 \neq 0$.
Найдем корни знаменателя, решив уравнение $x^2 + 5x - 14 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7$, $x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$.
ОДЗ: $x \neq -7$ и $x \neq 2$.

Преобразуем уравнение, умножив обе части на знаменатель (при условии, что он не равен нулю):
$3x + 21 = x^2 + 5x - 14$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 3x - 14 - 21 = 0$
$x^2 + 2x - 35 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -35$
Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -7$ и $x \neq 2$).
Корень $x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

в)

Решим уравнение $\frac{4x - 8}{x^2 - x - 2} = 3$.

ОДЗ: $x^2 - x - 2 \neq 0$.
Найдем корни знаменателя: $x^2 - x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
ОДЗ: $x \neq -1$ и $x \neq 2$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$4x - 8 = 4(x-2)$
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Подставим в уравнение:
$\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+1)} = 3$.

Так как $x \neq 2$, сократим дробь на $(x-2)$:
$\frac{4}{x+1} = 3$.

Решим полученное уравнение:
$4 = 3(x+1)$
$4 = 3x + 3$
$1 = 3x$
$x = \frac{1}{3}$.

Корень $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г)

Решим уравнение $\frac{5x + 15}{x^2 - 9} = -1$.

ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$.
Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-3)(x+3) \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$5x + 15 = 5(x+3)$
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Подставим в уравнение:
$\frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)} = -1$.

Так как $x \neq -3$, сократим дробь на $(x+3)$:
$\frac{5}{x-3} = -1$.

Решим полученное уравнение:
$5 = -1(x-3)$
$5 = -x + 3$
$x = 3 - 5$
$x = -2$.

Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.