Номер 8.27, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.27, страница 236.

Условие.

8.27 a) $ \operatorname{tg} 3x = \operatorname{tg} 5x; $

В) $ \sin x = \frac{\cos x}{\sin x}; $

б) $ \operatorname{ctg} 3x = \operatorname{ctg} 5x; $

г) $ \cos x = \frac{\sin x}{\cos x}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $tg\,3x = tg\,5x$.
Условие равенства тангенсов $tg\,\alpha = tg\,\beta$ выполняется, если $\alpha = \beta + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Применим это к нашему уравнению:
$5x = 3x + \pi n$
$5x - 3x = \pi n$
$2x = \pi n$
$x = \frac{\pi n}{2}$
Теперь необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1) $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$
2) $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$
Проверим, какие из наших решений $x = \frac{\pi n}{2}$ нужно исключить.
Подставим $x = \frac{\pi n}{2}$ в условия ОДЗ.
Если $n$ - четное число, то есть $n=2p$, то $x = \frac{\pi (2p)}{2} = \pi p$.
$\cos(3\pi p) = (-1)^{3p} \neq 0$ и $\cos(5\pi p) = (-1)^{5p} \neq 0$. Значит, все решения вида $x = \pi p$ подходят.
Если $n$ - нечетное число, то есть $n=2p+1$, то $x = \frac{\pi (2p+1)}{2} = \pi p + \frac{\pi}{2}$.
$\cos(3x) = \cos(3(\pi p + \frac{\pi}{2})) = \cos(3\pi p + \frac{3\pi}{2}) = 0$.
$\cos(5x) = \cos(5(\pi p + \frac{\pi}{2})) = \cos(5\pi p + \frac{5\pi}{2}) = 0$.
Значения тангенсов не определены, поэтому решения, где $n$ нечетное, нужно исключить.
Таким образом, в серии решений $x = \frac{\pi n}{2}$ оставляем только те, где $n$ - четное. Если $n=2k$, то $x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg\,3x = ctg\,5x$.
Условие равенства котангенсов $ctg\,\alpha = ctg\,\beta$ выполняется, если $\alpha = \beta + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$5x = 3x + \pi n$
$2x = \pi n$
$x = \frac{\pi n}{2}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для котангенса: аргумент не должен быть равен $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1) $3x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{3}$
2) $5x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{5}$
Проверим наши решения $x = \frac{\pi n}{2}$ на соответствие ОДЗ.
Если $n$ - четное число, $n=2p$, то $x = \frac{\pi (2p)}{2} = \pi p$.
$\sin(3x) = \sin(3\pi p) = 0$. Значения котангенсов не определены. Эти решения нужно исключить.
Если $n$ - нечетное число, $n=2p+1$, то $x = \frac{\pi (2p+1)}{2} = \pi p + \frac{\pi}{2}$.
$\sin(3x) = \sin(3\pi p + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(3\pi p) \neq 0$.
$\sin(5x) = \sin(5\pi p + \frac{5\pi}{2}) = \cos(5\pi p) \neq 0$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
Таким образом, оставляем только решения, где $n$ - нечетное, $n = 2k+1$.
$x = \frac{\pi (2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\sin x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части уравнения на $\sin x$:
$\sin^2 x = \cos x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$1 - \cos^2 x = \cos x$
Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:
$\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le t \le 1$.
$t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$. Это значение находится в интервале $[-1, 1]$, поэтому является решением.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$. Это значение меньше -1, поэтому не является решением.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При этом значении $\cos x$, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \neq 0$, так что ОДЗ выполняется.
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на $\cos x$:
$\cos^2 x = \sin x$
Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$1 - \sin^2 x = \sin x$
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $y = \sin x$, где $-1 \le y \le 1$.
$y^2 + y - 1 = 0$
Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте в). Его корни:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
$y_1 \approx 0.618$ (подходит), $y_2 \approx -1.618$ (не подходит).
Возвращаемся к замене:
$\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При этом значении $\sin x$, $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \neq 0$, так что ОДЗ выполняется.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.