Номер 8.33, страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.33, страница 238.

Условие.

8.33 a) $\sqrt{x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{3x+3}$;

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} = \sqrt{2x+19}$;

B) $\sqrt{6x+1} - \sqrt{x-3} = \sqrt{3x+4}$;

г) $\sqrt{9-5x} - \sqrt{x-1} = 2\sqrt{2-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{3x+3}$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x+2 \ge 0$, $2x-3 \ge 0$, $3x+3 \ge 0$. Решая эти неравенства, получаем: $x \ge -2$, $x \ge 1.5$, $x \ge -1$. Пересечением этих условий является $x \ge 1.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1.5, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{2x-3})^2 = (\sqrt{3x+3})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(2x-3)} + (2x-3) = 3x+3$
$3x - 1 + 2\sqrt{2x^2 + x - 6} = 3x+3$
Уединим корень:
$2\sqrt{2x^2 + x - 6} = 3x+3 - (3x-1)$
$2\sqrt{2x^2 + x - 6} = 4$
$\sqrt{2x^2 + x - 6} = 2$
Снова возведем в квадрат:
$2x^2 + x - 6 = 4$
$2x^2 + x - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 1.5$). Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x=-2.5$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Выполним проверку для $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{2+2} + \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2+1=3$.
Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 2 + 3} = \sqrt{9} = 3$.
Поскольку $3=3$, решение верное.
Ответ: $2$.

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} = \sqrt{2x+19}$
Определим ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$; $x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6$; $2x+19 \ge 0 \Rightarrow x \ge -9.5$. Общая область: $x \ge -1$, то есть $x \in [-1, +\infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6})^2 = (\sqrt{2x+19})^2$
$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x+6)} + (x+6) = 2x+19$
$2x+7 + 2\sqrt{x^2+7x+6} = 2x+19$
Изолируем радикал:
$2\sqrt{x^2+7x+6} = 2x+19 - (2x+7)$
$2\sqrt{x^2+7x+6} = 12$
$\sqrt{x^2+7x+6} = 6$
Снова возводим в квадрат:
$x^2+7x+6 = 36$
$x^2+7x-30 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.
Корни: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -1$).
$x=3$ принадлежит ОДЗ.
$x=-10$ не принадлежит ОДЗ.
Проверка для $x=3$: $\sqrt{3+1}+\sqrt{3+6} = \sqrt{4}+\sqrt{9} = 2+3=5$. Правая часть: $\sqrt{2 \cdot 3 + 19} = \sqrt{25} = 5$. $5=5$, решение верное.
Ответ: $3$.

в) $\sqrt{6x+1} - \sqrt{x-3} = \sqrt{3x+4}$
Для удобства перенесем один из корней в правую часть: $\sqrt{6x+1} = \sqrt{3x+4} + \sqrt{x-3}$.
Найдем ОДЗ: $6x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/6$; $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$; $3x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4/3$. Пересечение условий: $x \ge 3$. ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.
В ОДЗ все части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{6x+1})^2 = (\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-3})^2$
$6x+1 = (3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-3)} + (x-3)$
$6x+1 = 4x+1 + 2\sqrt{3x^2-5x-12}$
Уединим корень:
$6x+1 - (4x+1) = 2\sqrt{3x^2-5x-12}$
$2x = 2\sqrt{3x^2-5x-12}$
$x = \sqrt{3x^2-5x-12}$
Так как в ОДЗ $x \ge 3$, обе части этого уравнения неотрицательны. Возводим в квадрат:
$x^2 = 3x^2-5x-12$
$2x^2-5x-12 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25+96 = 121$.
Корни: $x_1 = \frac{5+\sqrt{121}}{4} = \frac{16}{4} = 4$ и $x_2 = \frac{5-\sqrt{121}}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$).
$x=4$ подходит.
$x=-1.5$ не подходит.
Проверка для $x=4$: $\sqrt{6 \cdot 4 + 1} - \sqrt{4-3} = \sqrt{25}-\sqrt{1} = 5-1=4$. Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 4 + 4} = \sqrt{16}=4$. $4=4$, решение верное.
Ответ: $4$.

г) $\sqrt{9-5x} - \sqrt{x-1} = 2\sqrt{2-x}$
Найдем ОДЗ: $9-5x \ge 0 \Rightarrow x \le 1.8$; $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$; $2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$. Пересечение: $1 \le x \le 1.8$. ОДЗ: $x \in [1, 1.8]$.
Перенесем корень: $\sqrt{9-5x} = 2\sqrt{2-x} + \sqrt{x-1}$. В ОДЗ все части этого уравнения неотрицательны.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{9-5x})^2 = (2\sqrt{2-x} + \sqrt{x-1})^2$
$9-5x = 4(2-x) + 4\sqrt{(2-x)(x-1)} + (x-1)$
$9-5x = 8-4x + 4\sqrt{-x^2+3x-2} + x-1$
$9-5x = 7-3x + 4\sqrt{-x^2+3x-2}$
Изолируем корень:
$9-5x - (7-3x) = 4\sqrt{-x^2+3x-2}$
$2-2x = 4\sqrt{-x^2+3x-2}$
$1-x = 2\sqrt{-x^2+3x-2}$
Правая часть этого уравнения неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной: $1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$.
Учитывая ОДЗ ($1 \le x \le 1.8$) и новое условие ($x \le 1$), единственным возможным решением является $x=1$.
Проверим $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{9-5(1)} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - 0 = 2$.
Правая часть: $2\sqrt{2-1} = 2\sqrt{1} = 2$.
$2=2$, следовательно, $x=1$ является корнем.
Ответ: $1$.