Номер 8.39, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.39, страница 239.

Условие.

8.39* а) $\log_3 \sqrt{x} + \log_3 \sqrt{x + 8} = 1;$

б) $\log_2 \sqrt{x + 3} + \log_2 \sqrt{x + 6} = 1;$

в) $\log_3 \sqrt{x + 4} + \log_3 \sqrt{x - 4} = 1;$

г) $\log_4 \sqrt{x + 3} + \log_4 \sqrt{x - 3} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\log_3 \sqrt{x} + \log_3 \sqrt{x+8} = 1$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x} > 0 \\ \sqrt{x+8} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x+8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -8 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_3(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+8}) = 1$
$\log_3\sqrt{x(x+8)} = 1$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.
$\sqrt{x^2 + 8x} = 3^1$
$\sqrt{x^2 + 8x} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 + 8x = 9$
$x^2 + 8x - 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 > 0$.
Корень $x_2 = -9$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-9$ не больше $0$.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $1$.

б) $\log_2 \sqrt{x+3} + \log_2 \sqrt{x+6} = 1$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x+3} > 0 \\ \sqrt{x+6} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+3 > 0 \\ x+6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -6 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -3$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_2(\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x+6}) = 1$
$\log_2\sqrt{(x+3)(x+6)} = 1$
$\log_2\sqrt{x^2+9x+18} = 1$
По определению логарифма:
$\sqrt{x^2+9x+18} = 2^1$
$\sqrt{x^2+9x+18} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2+9x+18 = 4$
$x^2+9x+14 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -7$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -3$).
Корень $x_1 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 > -3$.
Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-7$ не больше $-3$.
Следовательно, решением является только один корень.
Ответ: $-2$.

в) $\log_3 \sqrt{x+4} + \log_3 \sqrt{x-4} = 1$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x+4} > 0 \\ \sqrt{x-4} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+4 > 0 \\ x-4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4 \\ x > 4 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 4$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_3(\sqrt{x+4} \cdot \sqrt{x-4}) = 1$
$\log_3\sqrt{(x+4)(x-4)} = 1$
$\log_3\sqrt{x^2-16} = 1$
По определению логарифма:
$\sqrt{x^2-16} = 3^1$
$\sqrt{x^2-16} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2-16 = 9$
$x^2 = 25$
Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 4$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-5$ не больше $4$.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $5$.

г) $\log_4 \sqrt{x+3} + \log_4 \sqrt{x-3} = 1$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x+3} > 0 \\ \sqrt{x-3} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+3 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 3 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 3$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_4(\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3}) = 1$
$\log_4\sqrt{(x+3)(x-3)} = 1$
$\log_4\sqrt{x^2-9} = 1$
По определению логарифма:
$\sqrt{x^2-9} = 4^1$
$\sqrt{x^2-9} = 4$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2-9 = 16$
$x^2 = 25$
Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 3$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-5$ не больше $3$.
Следовательно, решением является только один корень.
Ответ: $5$.