Номер 8.41, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.41, страница 239.

Условие.

8.41* a) $\sqrt{\log_2 (x + 2) + \log_2 (x + 1)} = \sqrt{\log_2 (x - 2) + \log_2 (2x - 1)};$

б) $\sqrt{\log_3 (2x - 1) + \log_3 (x - 4)} = \sqrt{2 \log_3 (x - 2)};$

в) $\sqrt{\log_2 \sin x + 2} = \sqrt{1 - \log_2 \cos x};$

г) $\sqrt{\log_2 (-\cos x) + 3} = \sqrt{2 - \log_2 (-\sin x)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_2(x+2) + \log_2(x+1)} = \sqrt{\log_2(x-2) + \log_2(2x-1)}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$x+2 > 0 \implies x > -2$

$x+1 > 0 \implies x > -1$

$x-2 > 0 \implies x > 2$

$2x-1 > 0 \implies x > 1/2$

Объединяя эти условия, получаем $x > 2$.

Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\log_2(x+2) + \log_2(x+1) \ge 0 \implies \log_2((x+2)(x+1)) \ge 0 \implies (x+2)(x+1) \ge 1 \implies x^2+3x+2 \ge 1 \implies x^2+3x+1 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+3x+1=0$ равны $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Неравенство выполняется при $x \ge \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ или $x \le \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$. Учитывая $x>2$, это условие выполняется.

$\log_2(x-2) + \log_2(2x-1) \ge 0 \implies \log_2((x-2)(2x-1)) \ge 0 \implies (x-2)(2x-1) \ge 1 \implies 2x^2-5x+2 \ge 1 \implies 2x^2-5x+1 \ge 0$. Корни уравнения $2x^2-5x+1=0$ равны $x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$. Неравенство выполняется при $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$ или $x \le \frac{5-\sqrt{17}}{4}$. Учитывая $x>2$, получаем $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$ (т.к. $\frac{5+\sqrt{17}}{4} \approx 2.28 > 2$).

Итоговая ОДЗ: $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_2(x+2) + \log_2(x+1) = \log_2(x-2) + \log_2(2x-1)$

Используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2((x+2)(x+1)) = \log_2((x-2)(2x-1))$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x+2)(x+1) = (x-2)(2x-1)$

$x^2+3x+2 = 2x^2-5x+2$

$x^2-8x = 0$

$x(x-8) = 0$

Получаем корни $x=0$ и $x=8$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

$x=0$ не удовлетворяет условию $x > 2$.

$x=8$ удовлетворяет условию $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$, так как $8 > \frac{5+5}{4}=2.5$.

Ответ: $x=8$

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_3(2x-1) + \log_3(x-4)} = \sqrt{2\log_3(x-2)}$

1. Найдем ОДЗ.

$2x-1 > 0 \implies x > 1/2$

$x-4 > 0 \implies x > 4$

$x-2 > 0 \implies x > 2$

Объединяя, получаем $x > 4$.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\log_3(2x-1) + \log_3(x-4) \ge 0 \implies \log_3((2x-1)(x-4)) \ge 0 \implies (2x-1)(x-4) \ge 1 \implies 2x^2-9x+3 \ge 0$. Корни $x = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{4}$. Учитывая $x>4$, получаем $x \ge \frac{9+\sqrt{57}}{4}$ (т.к. $\frac{9+\sqrt{57}}{4} \approx 4.14 > 4$).

$2\log_3(x-2) \ge 0 \implies \log_3(x-2) \ge 0 \implies x-2 \ge 1 \implies x \ge 3$.

Итоговая ОДЗ: $x \ge \frac{9+\sqrt{57}}{4}$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_3(2x-1) + \log_3(x-4) = 2\log_3(x-2)$

Используя свойства логарифмов:

$\log_3((2x-1)(x-4)) = \log_3((x-2)^2)$

$(2x-1)(x-4) = (x-2)^2$

$2x^2-9x+4 = x^2-4x+4$

$x^2-5x = 0$

$x(x-5) = 0$

Корни: $x=0$ и $x=5$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

$x=0$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x=5$ удовлетворяет условию $x \ge \frac{9+\sqrt{57}}{4}$, так как $5 > 4.14$.

Ответ: $x=5$

в)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_2 \sin x + 2} = \sqrt{1 - \log_2 \cos x}$

1. Найдем ОДЗ.

$\sin x > 0$ и $\cos x > 0 \implies x$ в I четверти ($2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$).

$\log_2 \sin x + 2 \ge 0 \implies \log_2 \sin x \ge -2 \implies \sin x \ge 2^{-2} \implies \sin x \ge \frac{1}{4}$.

$1 - \log_2 \cos x \ge 0 \implies 1 \ge \log_2 \cos x \implies 2 \ge \cos x$, что всегда верно при $\cos x > 0$.

Итоговая ОДЗ: $\sin x \ge \frac{1}{4}$ и $\cos x > 0$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_2 \sin x + 2 = 1 - \log_2 \cos x$

$\log_2 \sin x + \log_2 \cos x = -1$

$\log_2(\sin x \cos x) = -1$

$\sin x \cos x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Используем формулу двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:

$\frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2} \implies \sin(2x) = 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

При $k=2n$ (четное): $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверка: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 > \frac{1}{4}=0.25$ (верно), $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ (верно).

Эти корни подходят.

При $k=2n+1$ (нечетное): $x = \frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$, что не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_2(-\cos x) + 3} = \sqrt{2 - \log_2(-\sin x)}$

1. Найдем ОДЗ.

$-\cos x > 0 \implies \cos x < 0$

$-\sin x > 0 \implies \sin x < 0$

Следовательно, $x$ в III четверти ($\pi + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$).

$\log_2(-\cos x) + 3 \ge 0 \implies \log_2(-\cos x) \ge -3 \implies -\cos x \ge 2^{-3} \implies \cos x \le -\frac{1}{8}$.

$2 - \log_2(-\sin x) \ge 0 \implies 2 \ge \log_2(-\sin x) \implies 4 \ge -\sin x$, что всегда верно.

Итоговая ОДЗ: $\cos x \le -\frac{1}{8}$ и $\sin x < 0$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_2(-\cos x) + 3 = 2 - \log_2(-\sin x)$

$\log_2(-\cos x) + \log_2(-\sin x) = -1$

$\log_2((-\cos x)(-\sin x)) = -1$

$\log_2(\sin x \cos x) = -1$

$\sin x \cos x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2} \implies \sin(2x) = 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

При $k=2n$ (четное): $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $\cos x > 0$, не удовлетворяет ОДЗ.

При $k=2n+1$ (нечетное): $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверка: $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 \le -\frac{1}{8}=-0.125$ (верно), $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ (верно).

Эти корни подходят.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$