Номер 9.6, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.6, страница 243.

Условие.

9.6 Запишите совокупность неравенств, равносильную неравенству:

а)

$|x| > 5$;

б)

$|x| > 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a$ — положительное число, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$. Совокупность означает, что решением является объединение решений этих двух неравенств.

В данном случае tenemos неравенство $|x| > 5$. Здесь $f(x) = x$ и $a=5$.

Применяя указанное правило, мы можем заменить исходное неравенство равносильной ему совокупностью:

$x > 5$ или $x < -5$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой должно быть больше 5. Этому условию удовлетворяют все точки, которые находятся правее 5, и все точки, которые находятся левее -5.

В виде совокупности это записывается так:

$ \left[ \begin{array}{l} x > 5, \\ x < -5. \end{array} \right. $

Ответ: $ \left[ \begin{array}{l} x > 5, \\ x < -5. \end{array} \right. $

б) Аналогично решается неравенство $|x| > 4$.

Здесь $f(x) = x$ и $a=4$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x > 4$ или $x < -4$.

Это означает, что мы ищем все числа $x$, расстояние которых от нуля больше 4.

Запишем данную совокупность:

$ \left[ \begin{array}{l} x > 4, \\ x < -4. \end{array} \right. $

Ответ: $ \left[ \begin{array}{l} x > 4, \\ x < -4. \end{array} \right. $