Номер 9.8, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.8, страница 246.

Условие.

9.8* Докажите справедливость утверждений 1–4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства всех четырех утверждений воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона).

1

Уравнение состояния идеального газа для произвольной массы $m$ газа с молярной массой $M$ имеет вид:$pV = \frac{m}{M}RT$,где $p$ – давление, $V$ – объем, $T$ – абсолютная температура, а $R$ – универсальная газовая постоянная.

Согласно условию, мы рассматриваем "данную массу газа", что означает, что масса $m$ постоянна ($m = \text{const}$). Молярная масса $M$ для определенного вида газа также является постоянной величиной. Универсальная газовая постоянная $R$ является фундаментальной физической константой.

Следовательно, для данной массы газа вся правая часть уравнения, деленная на $T$, является постоянной величиной:$\frac{m}{M}R = \text{const}$.

Перепишем уравнение состояния, разделив обе части на температуру $T$:$\frac{pV}{T} = \frac{m}{M}R$.

Поскольку правая часть этого равенства постоянна, то и левая его часть также является постоянной величиной. Таким образом, для данной массы газа справедливо соотношение $\frac{pV}{T} = \text{const}$.
Ответ: справедливость утверждения о том, что для данной массы газа отношение $\frac{pV}{T}$ остается постоянным, доказана.

2

Изотермический процесс – это процесс, протекающий при постоянной температуре ($T = \text{const}$).Воспользуемся результатом, полученным в пункте 1:$\frac{pV}{T} = \text{const}$.

Так как в изотермическом процессе температура $T$ постоянна, мы можем умножить обе части уравнения на $T$:$pV = \text{const} \cdot T$.

Поскольку произведение двух постоянных величин ($\text{const}$ и $T$) также является постоянной величиной, мы получаем:$pV = \text{const'}$.Это соотношение известно как закон Бойля–Мариотта.
Ответ: справедливость утверждения о том, что при изотермическом процессе для данной массы газа произведение $pV$ остается постоянным, доказана.

3

Изобарный процесс – это процесс, протекающий при постоянном давлении ($p = \text{const}$).Снова обратимся к объединенному газовому закону из пункта 1:$\frac{pV}{T} = \text{const}$.

При постоянном давлении $p$ мы можем преобразовать это уравнение, разделив обе части на $p$:$\frac{V}{T} = \frac{\text{const}}{p}$.

Так как частное двух постоянных величин ($\text{const}$ и $p$) также является постоянной величиной, получаем:$\frac{V}{T} = \text{const''}$.Это соотношение известно как закон Гей-Люссака.
Ответ: справедливость утверждения о том, что при изобарном процессе для данной массы газа отношение $V/T$ остается постоянным, доказана.

4

Изохорный процесс – это процесс, протекающий при постоянном объеме ($V = \text{const}$).Используем тот же исходный результат:$\frac{pV}{T} = \text{const}$.

При постоянном объеме $V$ мы можем переписать уравнение следующим образом:$\frac{p}{T} = \frac{\text{const}}{V}$.

Поскольку частное двух постоянных величин ($\text{const}$ и $V$) снова является постоянной величиной, мы приходим к выводу:$\frac{p}{T} = \text{const'''}$.Это соотношение известно как закон Шарля.
Ответ: справедливость утверждения о том, что при изохорном процессе для данной массы газа отношение $p/T$ остается постоянным, доказана.