Номер 9.14, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.14, страница 246.

Условие.

9.14 a) $lg (x^2 - x - 6) + 4^x + 16 = 17 \cdot 2^x + lg (x^2 - x - 6);$

б) $\sqrt{x^2 - 9} + \lg (x^2 + 3x) = 1 + \sqrt{x^2 - 9};$

В) $\sqrt{-x^2 + 4x - 3.5} + 9^x + 243 = 36 \cdot 3^x + \sqrt{-x^2 + 4x - 3.5};$

Г) $\lg (x^2 + 21x) + \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2} = 2 + \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \lg(x^2 - x - 6) + 4^x + 16 = 17 \cdot 2^x + \lg(x^2 - x - 6) $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $ x^2 - x - 6 > 0 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - x - 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -2 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $.

В исходном уравнении вычтем из обеих частей $ \lg(x^2 - x - 6) $: $ 4^x + 16 = 17 \cdot 2^x $. Перепишем $ 4^x $ как $ (2^x)^2 $: $ (2^x)^2 - 17 \cdot 2^x + 16 = 0 $. Сделаем замену $ t = 2^x $, где $ t > 0 $: $ t^2 - 17t + 16 = 0 $. По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 16 $. Оба корня положительны.

Вернемся к исходной переменной: 1) $ 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0 $. 2) $ 2^x = 16 \Rightarrow 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x < -2 $ или $ x > 3 $): $ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ -2 < 0 < 3 $. $ x = 4 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 4 > 3 $.

Ответ: $ 4 $.

б) $ \sqrt{x^2 - 9} + \lg(x^2 + 3x) = 1 + \sqrt{x^2 - 9} $

Найдем ОДЗ. Должны выполняться два условия: 1) $ x^2 - 9 \ge 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty) $. 2) $ x^2 + 3x > 0 \Rightarrow x(x+3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty) $. Пересечение этих двух множеств дает нам ОДЗ: $ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) $.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \sqrt{x^2 - 9} $: $ \lg(x^2 + 3x) = 1 $. По определению десятичного логарифма: $ x^2 + 3x = 10^1 $ $ x^2 + 3x - 10 = 0 $. По теореме Виета, корни этого уравнения $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 2 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) $): $ x = -5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ -5 < -3 $. $ x = 2 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ -3 < 2 < 3 $.

Ответ: $ -5 $.

в) $ \sqrt{-x^2 + 4x - 3,5} + 9^x + 243 = 36 \cdot 3^x + \sqrt{-x^2 + 4x - 3,5} $

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ -x^2 + 4x - 3,5 \ge 0 $. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ x^2 - 4x + 3,5 \le 0 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - 4x + 3,5 = 0 $. Дискриминант $ D = 16 - 4 \cdot 3,5 = 16 - 14 = 2 $. Корни $ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{2}}{2} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как парабола $ y = x^2 - 4x + 3,5 $ имеет ветви вверх, неравенство выполняется между корнями: $ x \in [2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}] $.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \sqrt{-x^2 + 4x - 3,5} $: $ 9^x + 243 = 36 \cdot 3^x $. Перепишем $ 9^x $ как $ (3^x)^2 $ и перенесем все в одну сторону: $ (3^x)^2 - 36 \cdot 3^x + 243 = 0 $. Сделаем замену $ t = 3^x $, где $ t > 0 $: $ t^2 - 36t + 243 = 0 $. Дискриминант $ D = 36^2 - 4 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2 $. Корни $ t_{1,2} = \frac{36 \pm 18}{2} $. $ t_1 = \frac{36-18}{2} = 9 $, $ t_2 = \frac{36+18}{2} = 27 $. Оба корня положительны.

Вернемся к исходной переменной: 1) $ 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2 $. 2) $ 3^x = 27 \Rightarrow 3^x = 3^3 \Rightarrow x = 3 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \in [2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}] $). Приближенно $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $, так что ОДЗ примерно $ [1,293, 2,707] $. $ x = 2 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} < 2 < 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $. $ x = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ 3 > 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ 2 $.

г) $ \lg(x^2 + 21x) + \tg\frac{\pi x}{2} = 2 + \tg\frac{\pi x}{2} $

Найдем ОДЗ. 1) Аргумент логарифма должен быть положителен: $ x^2 + 21x > 0 \Rightarrow x(x+21) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -21) \cup (0, \infty) $. 2) Тангенс определен, если его аргумент не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $. $ \frac{\pi x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{2} \ne \frac{1}{2} + k \Rightarrow x \ne 1 + 2k $. Это означает, что $ x $ не может быть нечетным целым числом.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \tg\frac{\pi x}{2} $: $ \lg(x^2 + 21x) = 2 $. По определению десятичного логарифма: $ x^2 + 21x = 10^2 $ $ x^2 + 21x - 100 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения $ x_1 = -25 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. 1) $ x = -25 $. Этот корень входит в интервал $ (-\infty, -21) $. Однако, $ -25 $ является нечетным целым числом ($ -25 = 1 + 2(-13) $). При этом значении $ x $ тангенс $ \tg\frac{\pi x}{2} $ не определен. Значит, $ x = -25 $ — посторонний корень. 2) $ x = 4 $. Этот корень входит в интервал $ (0, \infty) $. Число 4 является четным, поэтому $ \tg\frac{\pi \cdot 4}{2} = \tg(2\pi) $ определен. Значит, $ x=4 $ является решением.

Ответ: $ 4 $.