Номер 9.18, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.18, страница 251.

Условие.

9.18 a) $\sin x \log_{11}(4 - x^2) = 0;$

Б) $\cos x \log_{12}(9 - x^2) = 0;$

В) $\operatorname{tg} x \log_{13}(x^2 - x - 6) = 0;$

Г) $\operatorname{ctg} x \log_{14}(x^2 + x - 12) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим уравнение $ \sin x \log_{11}(4 - x^2) = 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ 4 - x^2 > 0 \iff x^2 < 4 \iff -2 < x < 2 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, 2) $.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Рассмотрим два случая:

1. $ \sin x = 0 $.

Решения этого уравнения имеют вид $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выберем те решения, которые принадлежат ОДЗ $ (-2, 2) $.

При $ n = 0 $, $ x = 0 $. Так как $ -2 < 0 < 2 $, этот корень подходит.

При $ n = 1 $, $ x = \pi \approx 3.14 $. Этот корень не входит в ОДЗ.

При $ n = -1 $, $ x = -\pi \approx -3.14 $. Этот корень не входит в ОДЗ.

Для других целых $ n $, значения $ x $ также будут выходить за пределы интервала $ (-2, 2) $.

Следовательно, из этого случая получаем единственное решение $ x = 0 $.

2. $ \log_{11}(4 - x^2) = 0 $.

По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему:

$ 4 - x^2 = 11^0 \implies 4 - x^2 = 1 $.

Отсюда $ x^2 = 3 $, что дает два корня: $ x_1 = \sqrt{3} $ и $ x_2 = -\sqrt{3} $.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Так как $ (\sqrt{3})^2 = 3 < 4 $ и $ (-\sqrt{3})^2 = 3 < 4 $, оба корня $ \sqrt{3} $ и $ -\sqrt{3} $ принадлежат интервалу $ (-2, 2) $.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ \{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\} $.

б) Решим уравнение $ \cos x \log_{12}(9 - x^2) = 0 $.

ОДЗ определяется условием $ 9 - x^2 > 0 $:

$ x^2 < 9 \iff -3 < x < 3 $.

ОДЗ: $ x \in (-3, 3) $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cos x = 0 $.

Решения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Выберем решения, принадлежащие ОДЗ $ (-3, 3) $.

При $ n = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Корень подходит, так как $ -3 < 1.57 < 3 $.

При $ n = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 $. Корень подходит, так как $ -3 < -1.57 < 3 $.

При $ n = 1 $, $ x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, не входит в ОДЗ.

При $ n = -2 $, $ x = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 $, не входит в ОДЗ.

Таким образом, из этого случая получаем два решения: $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ x = -\frac{\pi}{2} $.

2. $ \log_{12}(9 - x^2) = 0 $.

$ 9 - x^2 = 12^0 \implies 9 - x^2 = 1 $.

$ x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} $.

Проверим принадлежность ОДЗ. Так как $ (2\sqrt{2})^2 = 8 < 9 $, оба корня $ 2\sqrt{2} $ и $ -2\sqrt{2} $ принадлежат интервалу $ (-3, 3) $.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ \{-2\sqrt{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 2\sqrt{2}\} $.

в) Решим уравнение $ \tan x \log_{13}(x^2 - x - 6) = 0 $.

Найдем ОДЗ. Во-первых, аргумент логарифма должен быть положительным:

$ x^2 - x - 6 > 0 $. Корнями квадратного трехчлена $ x^2 - x - 6 $ являются $ x_1 = -2, x_2 = 3 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $.

Во-вторых, тангенс определен, если $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $ и $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \tan x = 0 $.

Решения: $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на принадлежность ОДЗ.

При $ n=0 $, $ x=0 $, что не входит в ОДЗ.

При $ n \ge 1 $, $ x = \pi, 2\pi, \dots $. Все эти значения больше 3 (т.к. $ \pi \approx 3.14 > 3 $), поэтому они входят в ОДЗ.

При $ n \le -1 $, $ x = -\pi, -2\pi, \dots $. Все эти значения меньше -2 (т.к. $ -\pi \approx -3.14 < -2 $), поэтому они входят в ОДЗ.

Итак, решения из этого случая: $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 $.

2. $ \log_{13}(x^2 - x - 6) = 0 $.

$ x^2 - x - 6 = 13^0 \implies x^2 - x - 6 = 1 \implies x^2 - x - 7 = 0 $.

Решим квадратное уравнение: $ D = (-1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29 $.

$ x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} $.

Проверим корни. $ \sqrt{29} \approx 5.385 $.

$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1+5.385}{2} \approx 3.19 $. Это значение больше 3, значит, входит в ОДЗ.

$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1-5.385}{2} \approx -2.19 $. Это значение меньше -2, значит, входит в ОДЗ.

Эти иррациональные корни не совпадают ни с одним из значений $ \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Ответ: $ \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\} \cup \{\frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}\} $.

г) Решим уравнение $ \cot x \log_{14}(x^2 + x - 12) = 0 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$ x^2 + x - 12 > 0 $. Корнями трехчлена $ x^2 + x - 12 $ являются $ x_1 = -4, x_2 = 3 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty) $.

Котангенс определен, если $ \sin x \neq 0 $, то есть $ x \neq \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty) $ и $ x \neq \pi k $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cot x = 0 $.

Решения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Проверим эти решения на принадлежность ОДЗ.

Для $ x > 3 $: $ \frac{\pi}{2} + \pi n > 3 \implies \pi(n+0.5) > 3 \implies n+0.5 > \frac{3}{\pi} \approx 0.955 \implies n > 0.455 $. Подходят $ n \ge 1 $.

Для $ x < -4 $: $ \frac{\pi}{2} + \pi n < -4 \implies \pi(n+0.5) < -4 \implies n+0.5 < -\frac{4}{\pi} \approx -1.273 \implies n < -1.773 $. Подходят $ n \le -2 $.

Решения из этого случая: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z}, n \ge 1 $ или $ n \le -2 $.

2. $ \log_{14}(x^2 + x - 12) = 0 $.

$ x^2 + x - 12 = 14^0 \implies x^2 + x - 12 = 1 \implies x^2 + x - 13 = 0 $.

Решим квадратное уравнение: $ D = 1^2 - 4(1)(-13) = 1 + 52 = 53 $.

$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2} $.

Проверим корни. $ \sqrt{53} \approx 7.28 $.

$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{53}}{2} \approx \frac{-1+7.28}{2} \approx 3.14 $. Это значение больше 3, значит, входит в ОДЗ.

$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{53}}{2} \approx \frac{-1-7.28}{2} \approx -4.14 $. Это значение меньше -4, значит, входит в ОДЗ.

Эти иррациональные корни не совпадают ни с одним из значений $ \pi k $.

Ответ: $ \{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}, n \le -2 \text{ или } n \ge 1\} \cup \{\frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2}\} $.