Номер 9.21, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.21, страница 251.

Условие.

9.21 a) $ \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{2x - 5}} = 0; $

B) $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{5 - x}} = 0; $

б) $ \frac{x^2 + 5x - 6}{\sqrt{x + 2}} = 0; $

Г) $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{2 - x}} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{2x - 5}} = 0 $.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ \sqrt{2x - 5} \neq 0 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ 2x - 5 > 0 $
$ 2x > 5 $
$ x > 2.5 $
Теперь решим уравнение числителя: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($ x > 2.5 $):
- Корень $ x_1 = 2 $ не удовлетворяет условию, так как $ 2 \ngtr 2.5 $.
- Корень $ x_2 = 3 $ удовлетворяет условию, так как $ 3 > 2.5 $.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 3.

б) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + 5x - 6}{\sqrt{x + 2}} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 = 0 \\ \sqrt{x + 2} \neq 0 \end{cases} $
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ x + 2 > 0 $
$ x > -2 $
Решим уравнение числителя: $ x^2 + 5x - 6 = 0 $.
Найдем дискриминант: $ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $
$ x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($ x > -2 $):
- Корень $ x_1 = -6 $ не удовлетворяет условию, так как $ -6 \ngtr -2 $.
- Корень $ x_2 = 1 $ удовлетворяет условию, так как $ 1 > -2 $.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 1.

в) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{5 - x}} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - x + 72 = 0 \\ \sqrt{5 - x} \neq 0 \end{cases} $
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ 5 - x > 0 $
$ x < 5 $
Решим уравнение числителя: $ x^2 - x + 72 = 0 $.
Найдем дискриминант: $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1 - 288 = -287 $.
Так как дискриминант $ D < 0 $, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Числитель дроби никогда не равен нулю.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - x + 72}{\sqrt{2 - x}} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - x + 72 = 0 \\ \sqrt{2 - x} \neq 0 \end{cases} $
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ 2 - x > 0 $
$ x < 2 $
Решим уравнение числителя: $ x^2 - x + 72 = 0 $.
Как и в пункте в), найдем дискриминант: $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1 - 288 = -287 $.
Так как $ D < 0 $, уравнение числителя не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором числитель обращается в ноль.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.