Номер 9.28, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.28, страница 252.

Условие.

9.28* a) $|x^2 - 4x + 2| = -x^2 + 6x - 6;$

б) $|x^2 - 2x - 1| = -x^2 + 4x - 1;$

В) $|x^2 - 2x - 8| = x^2 + 2x - 10;$

Г) $|x^2 - 3x - 1| = x^2 + 3x - 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $|x^2 - 4x + 2| = -x^2 + 6x - 6$.

Данное уравнение имеет вид $|A| = B$. Оно равносильно системе, состоящей из условия $B \ge 0$ и совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) из условия, что правая часть уравнения неотрицательна:

$-x^2 + 6x - 6 \ge 0$

$x^2 - 6x + 6 \le 0$

Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 6 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

Парабола $y = x^2 - 6x + 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями: $x \in [3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}]$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 6$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1, x_2 = 4$.

Случай 2: $x^2 - 4x + 2 = -(-x^2 + 6x - 6)$

$x^2 - 4x + 2 = x^2 - 6x + 6$

$2x = 4$

$x_3 = 2$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in [3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}]$.

Приближённо, $\sqrt{3} \approx 1.732$, тогда ОДЗ: $[3 - 1.732, 3 + 1.732] \approx [1.268, 4.732]$.

Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 < 1.268$.

Корень $x_2 = 4$ принадлежит ОДЗ, так как $1.268 < 4 < 4.732$.

Корень $x_3 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $1.268 < 2 < 4.732$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=2$ и $x=4$.

Ответ: 2; 4.

б) Решим уравнение $|x^2 - 2x - 1| = -x^2 + 4x - 1$.

1. Найдём ОДЗ из условия $-x^2 + 4x - 1 \ge 0$, что равносильно $x^2 - 4x + 1 \le 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

ОДЗ: $x \in [2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x^2 - 2x - 1 = -x^2 + 4x - 1$

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x - 3) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 3$.

Случай 2: $x^2 - 2x - 1 = -(-x^2 + 4x - 1)$

$x^2 - 2x - 1 = x^2 - 4x + 1$

$2x = 2$

$x_3 = 1$.

3. Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$.

Приближённо, $\sqrt{3} \approx 1.732$, ОДЗ: $[2 - 1.732, 2 + 1.732] \approx [0.268, 3.732]$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит ОДЗ, так как $0 < 0.268$.

Корень $x_2 = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $0.268 < 3 < 3.732$.

Корень $x_3 = 1$ принадлежит ОДЗ, так как $0.268 < 1 < 3.732$.

Решениями уравнения являются $x=1$ и $x=3$.

Ответ: 1; 3.

в) Решим уравнение $|x^2 - 2^x - 8| = x^2 + 2^x - 10$.

1. ОДЗ уравнения определяется условием $x^2 + 2^x - 10 \ge 0$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x^2 - 2^x - 8 = x^2 + 2^x - 10$

$-2^x - 8 = 2^x - 10$

$2 = 2 \cdot 2^x$

$2^x = 1$

$x_1 = 0$.

Случай 2: $x^2 - 2^x - 8 = -(x^2 + 2^x - 10)$

$x^2 - 2^x - 8 = -x^2 - 2^x + 10$

$2x^2 - 18 = 0$

$x^2 = 9$

$x_2 = 3, x_3 = -3$.

3. Проверим найденные корни, подставив их в условие ОДЗ $x^2 + 2^x - 10 \ge 0$.

Для $x_1 = 0$: $0^2 + 2^0 - 10 = 1 - 10 = -9$. Неравенство $-9 \ge 0$ ложно, значит, $x=0$ не является корнем.

Для $x_2 = 3$: $3^2 + 2^3 - 10 = 9 + 8 - 10 = 7$. Неравенство $7 \ge 0$ истинно, значит, $x=3$ является корнем.

Для $x_3 = -3$: $(-3)^2 + 2^{-3} - 10 = 9 + \frac{1}{8} - 10 = -1 + \frac{1}{8} = -\frac{7}{8}$. Неравенство $-\frac{7}{8} \ge 0$ ложно, значит, $x=-3$ не является корнем.

Единственное решение уравнения – $x=3$.

Ответ: 3.

г) Решим уравнение $|x^2 - 3^x - 1| = x^2 + 3^x - 7$.

1. ОДЗ уравнения: $x^2 + 3^x - 7 \ge 0$.

2. Раскроем модуль:

Случай 1: $x^2 - 3^x - 1 = x^2 + 3^x - 7$

$-3^x - 1 = 3^x - 7$

$6 = 2 \cdot 3^x$

$3^x = 3$

$x_1 = 1$.

Случай 2: $x^2 - 3^x - 1 = -(x^2 + 3^x - 7)$

$x^2 - 3^x - 1 = -x^2 - 3^x + 7$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x_2 = 2, x_3 = -2$.

3. Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x^2 + 3^x - 7 \ge 0$.

Для $x_1 = 1$: $1^2 + 3^1 - 7 = 1 + 3 - 7 = -3$. Неравенство $-3 \ge 0$ ложно. Корень не подходит.

Для $x_2 = 2$: $2^2 + 3^2 - 7 = 4 + 9 - 7 = 6$. Неравенство $6 \ge 0$ истинно. Корень подходит.

Для $x_3 = -2$: $(-2)^2 + 3^{-2} - 7 = 4 + \frac{1}{9} - 7 = -3 + \frac{1}{9} = -\frac{26}{9}$. Неравенство $-\frac{26}{9} \ge 0$ ложно. Корень не подходит.

Единственное решение уравнения – $x=2$.

Ответ: 2.