Номер 9.33, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.33, страница 253.
№9.33 (с. 253)
Условие. №9.33 (с. 253)
скриншот условия

9.33* Сколько корней имеет уравнение:
a) $ \sin \frac{\pi x}{3} (\lg(x + 5) + \lg(400 - x)) = 0; $
б) $ \cos \frac{\pi (x - 3)}{2} \sqrt{\left(\frac{x}{4} - 1\right)\left(200 - \frac{3x}{2}\right)} = 0; $
в) $ \sin \frac{\pi x}{4} (\lg(x + 3) + \lg(300 - x)) = 0; $
г) $ \cos \frac{\pi (x - 2)}{4} \sqrt{\left(\frac{x}{8} + 1\right)\left(150 - \frac{2x}{3}\right)} = 0? $
Решение 1. №9.33 (с. 253)




Решение 2. №9.33 (с. 253)




Решение 3. №9.33 (с. 253)


Решение 4. №9.33 (с. 253)
а) $ \sin\frac{\pi x}{3}(\lg(x + 5) + \lg(400 - x)) = 0; $
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ 400 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -5 \\ x < 400 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-5, 400) $.
Рассмотрим два случая:
1. $ \sin\frac{\pi x}{3} = 0 $
Это уравнение равносильно тому, что аргумент синуса является кратным $ \pi $: $ \frac{\pi x}{3} = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in Z $). $ x = 3k $. Теперь найдем, сколько целых значений $ k $ дают корни, попадающие в ОДЗ: $ -5 < 3k < 400 $ $ -\frac{5}{3} < k < \frac{400}{3} $ $ -1.66... < k < 133.33... $ Следовательно, $ k $ может принимать целые значения от -1 до 133 включительно. Количество таких значений: $ 133 - (-1) + 1 = 135 $. Эта серия дает 135 корней.
2. $ \lg(x + 5) + \lg(400 - x) = 0 $
Используя свойство суммы логарифмов: $ \lg((x + 5)(400 - x)) = 0 $. По определению десятичного логарифма: $ (x + 5)(400 - x) = 10^0 = 1 $ $ 400x - x^2 + 2000 - 5x = 1 $ $ -x^2 + 395x + 1999 = 0 $ $ x^2 - 395x - 1999 = 0 $. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $ D = b^2 - 4ac = (-395)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1999) = 156025 + 7996 = 164021 $. Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два различных действительных корня: $ x = \frac{395 \pm \sqrt{164021}}{2} $. Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ $ (-5, 400) $. Заметим, что $ 405^2 = 164025 $, поэтому $ \sqrt{164021} < 405 $. Для корня $ x_1 = \frac{395 - \sqrt{164021}}{2} $: $ x_1 > -5 \Leftrightarrow 395 - \sqrt{164021} > -10 \Leftrightarrow 405 > \sqrt{164021} \Leftrightarrow 164025 > 164021 $. Это верно. Для корня $ x_2 = \frac{395 + \sqrt{164021}}{2} $: $ x_2 < 400 \Leftrightarrow 395 + \sqrt{164021} < 800 \Leftrightarrow \sqrt{164021} < 405 $. Это также верно. Оба корня принадлежат ОДЗ. Эта серия дает 2 корня.
Корни первой серии $ x = 3k $ являются целыми числами. Корни второй серии иррациональны, так как 164021 не является полным квадратом. Следовательно, совпадений между корнями из двух серий нет.
Общее количество корней равно сумме корней из обеих серий: $ 135 + 2 = 137 $.
Ответ: 137
б) $ \cos\frac{\pi (x - 3)}{2} \sqrt{(\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2})} = 0; $
ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $ (\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2}) \ge 0 $. Найдем корни сомножителей: $ \frac{x}{4} - 1 = 0 \Rightarrow x=4 $ и $ 200 - \frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{400}{3} $. Это квадратичное неравенство относительно $x$ с отрицательным старшим коэффициентом ($-\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}$), поэтому парабола направлена ветвями вниз. Неравенство выполняется между корнями. ОДЗ: $ x \in [4, \frac{400}{3}] $.
Рассмотрим два случая:
1. $ \cos\frac{\pi (x - 3)}{2} = 0 $
Аргумент косинуса должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $: $ \frac{\pi (x - 3)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $ $ \frac{x - 3}{2} = \frac{1}{2} + k $ $ x - 3 = 1 + 2k \Rightarrow x = 4 + 2k $. Найдем количество корней в ОДЗ $ [4, \frac{400}{3}] \approx [4, 133.33] $: $ 4 \le 4 + 2k \le \frac{400}{3} $ $ 0 \le 2k \le \frac{400}{3} - 4 = \frac{388}{3} $ $ 0 \le k \le \frac{194}{3} \approx 64.66... $ Целые значения $ k $: $ 0, 1, 2, ..., 64 $. Количество корней: $ 64 - 0 + 1 = 65 $.
2. $ \sqrt{(\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2})} = 0 $
$ (\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2}) = 0 $. Корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = \frac{400}{3} $. Оба корня принадлежат ОДЗ, так как являются его граничными точками.
Проверим на совпадение корней. Корень $ x = 4 $: $ 4 = 4 + 2k \Rightarrow 2k = 0 \Rightarrow k = 0 $. Это значение $k$ входит в найденный диапазон, значит, $ x=4 $ — общий корень. Корень $ x = \frac{400}{3} $: $ \frac{400}{3} = 4 + 2k \Rightarrow \frac{388}{3} = 2k \Rightarrow k = \frac{194}{3} $. Это не целое число, значит, корень не совпадает с корнями первой серии.
Итого: первая серия дает 65 корней (включая $x=4$), вторая серия дает два корня ($x=4$ и $x=400/3$). Учитывая один общий корень, общее число различных корней равно $ 65 + 2 - 1 = 66 $.
Ответ: 66
в) $ \sin\frac{\pi x}{4}(\lg(x + 3) + \lg(300 - x)) = 0; $
ОДЗ: $ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ 300 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x < 300 \end{cases} \implies x \in (-3, 300) $.
Рассмотрим два случая:
1. $ \sin\frac{\pi x}{4} = 0 $
$ \frac{\pi x}{4} = \pi k $, где $ k \in Z $. $ x = 4k $. Найдем количество корней в ОДЗ: $ -3 < 4k < 300 $ $ -\frac{3}{4} < k < \frac{300}{4} $ $ -0.75 < k < 75 $ Целые значения $ k $: $ 0, 1, 2, ..., 74 $. Количество корней: $ 74 - 0 + 1 = 75 $.
2. $ \lg(x + 3) + \lg(300 - x) = 0 $
$ \lg((x + 3)(300 - x)) = 0 $ $ (x + 3)(300 - x) = 1 $ $ 300x - x^2 + 900 - 3x = 1 $ $ x^2 - 297x - 899 = 0 $. $ D = (-297)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-899) = 88209 + 3596 = 91805 $. Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня $ x = \frac{297 \pm \sqrt{91805}}{2} $. Проверим, входят ли корни в ОДЗ $ (-3, 300) $. Заметим, что $ 303^2 = 91809 $, поэтому $ \sqrt{91805} < 303 $. $ x_1 = \frac{297 - \sqrt{91805}}{2} > \frac{297 - 303}{2} = -3 $. $ x_2 = \frac{297 + \sqrt{91805}}{2} < \frac{297 + 303}{2} = 300 $. Оба корня принадлежат ОДЗ.
Корни первой серии целые, второй — иррациональные. Совпадений нет. Общее количество корней: $ 75 + 2 = 77 $.
Ответ: 77
г) $ \cos\frac{\pi (x - 2)}{4} \sqrt{(\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3})} = 0? $
ОДЗ: $ (\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3}) \ge 0 $. Корни сомножителей: $ \frac{x}{8} + 1 = 0 \Rightarrow x = -8 $ и $ 150 - \frac{2x}{3} = 0 \Rightarrow x=225 $. Парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями. ОДЗ: $ x \in [-8, 225] $.
Рассмотрим два случая:
1. $ \cos\frac{\pi (x - 2)}{4} = 0 $
$ \frac{\pi (x - 2)}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $. $ \frac{x - 2}{4} = \frac{1}{2} + k $ $ x - 2 = 2 + 4k \Rightarrow x = 4 + 4k $. Найдем количество корней в ОДЗ: $ -8 \le 4 + 4k \le 225 $ $ -12 \le 4k \le 221 $ $ -3 \le k \le \frac{221}{4} = 55.25 $ Целые значения $ k $: $ -3, -2, ..., 55 $. Количество корней: $ 55 - (-3) + 1 = 59 $.
2. $ \sqrt{(\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3})} = 0 $
$ (\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3}) = 0 $. Корни: $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = 225 $. Оба принадлежат ОДЗ.
Проверим на совпадение корней. Корень $ x = -8 $: $ -8 = 4 + 4k \Rightarrow -12 = 4k \Rightarrow k = -3 $. Входит в диапазон, корень общий. Корень $ x = 225 $: $ 225 = 4 + 4k \Rightarrow 221 = 4k \Rightarrow k = \frac{221}{4} $. Не целое, не общий корень.
Общее число различных корней: $ 59 + 2 - 1 = 60 $.
Ответ: 60
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.33 расположенного на странице 253 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.33 (с. 253), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.