Номер 9.33, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.33, страница 253.

Условие.

9.33* Сколько корней имеет уравнение:

a) $ \sin \frac{\pi x}{3} (\lg(x + 5) + \lg(400 - x)) = 0; $

б) $ \cos \frac{\pi (x - 3)}{2} \sqrt{\left(\frac{x}{4} - 1\right)\left(200 - \frac{3x}{2}\right)} = 0; $

в) $ \sin \frac{\pi x}{4} (\lg(x + 3) + \lg(300 - x)) = 0; $

г) $ \cos \frac{\pi (x - 2)}{4} \sqrt{\left(\frac{x}{8} + 1\right)\left(150 - \frac{2x}{3}\right)} = 0? $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \sin\frac{\pi x}{3}(\lg(x + 5) + \lg(400 - x)) = 0; $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ 400 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -5 \\ x < 400 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-5, 400) $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \sin\frac{\pi x}{3} = 0 $

Это уравнение равносильно тому, что аргумент синуса является кратным $ \pi $: $ \frac{\pi x}{3} = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in Z $). $ x = 3k $. Теперь найдем, сколько целых значений $ k $ дают корни, попадающие в ОДЗ: $ -5 < 3k < 400 $ $ -\frac{5}{3} < k < \frac{400}{3} $ $ -1.66... < k < 133.33... $ Следовательно, $ k $ может принимать целые значения от -1 до 133 включительно. Количество таких значений: $ 133 - (-1) + 1 = 135 $. Эта серия дает 135 корней.

2. $ \lg(x + 5) + \lg(400 - x) = 0 $

Используя свойство суммы логарифмов: $ \lg((x + 5)(400 - x)) = 0 $. По определению десятичного логарифма: $ (x + 5)(400 - x) = 10^0 = 1 $ $ 400x - x^2 + 2000 - 5x = 1 $ $ -x^2 + 395x + 1999 = 0 $ $ x^2 - 395x - 1999 = 0 $. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $ D = b^2 - 4ac = (-395)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1999) = 156025 + 7996 = 164021 $. Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два различных действительных корня: $ x = \frac{395 \pm \sqrt{164021}}{2} $. Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ $ (-5, 400) $. Заметим, что $ 405^2 = 164025 $, поэтому $ \sqrt{164021} < 405 $. Для корня $ x_1 = \frac{395 - \sqrt{164021}}{2} $: $ x_1 > -5 \Leftrightarrow 395 - \sqrt{164021} > -10 \Leftrightarrow 405 > \sqrt{164021} \Leftrightarrow 164025 > 164021 $. Это верно. Для корня $ x_2 = \frac{395 + \sqrt{164021}}{2} $: $ x_2 < 400 \Leftrightarrow 395 + \sqrt{164021} < 800 \Leftrightarrow \sqrt{164021} < 405 $. Это также верно. Оба корня принадлежат ОДЗ. Эта серия дает 2 корня.

Корни первой серии $ x = 3k $ являются целыми числами. Корни второй серии иррациональны, так как 164021 не является полным квадратом. Следовательно, совпадений между корнями из двух серий нет.

Общее количество корней равно сумме корней из обеих серий: $ 135 + 2 = 137 $.

Ответ: 137

б) $ \cos\frac{\pi (x - 3)}{2} \sqrt{(\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2})} = 0; $

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $ (\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2}) \ge 0 $. Найдем корни сомножителей: $ \frac{x}{4} - 1 = 0 \Rightarrow x=4 $ и $ 200 - \frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{400}{3} $. Это квадратичное неравенство относительно $x$ с отрицательным старшим коэффициентом ($-\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}$), поэтому парабола направлена ветвями вниз. Неравенство выполняется между корнями. ОДЗ: $ x \in [4, \frac{400}{3}] $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cos\frac{\pi (x - 3)}{2} = 0 $

Аргумент косинуса должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $: $ \frac{\pi (x - 3)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $ $ \frac{x - 3}{2} = \frac{1}{2} + k $ $ x - 3 = 1 + 2k \Rightarrow x = 4 + 2k $. Найдем количество корней в ОДЗ $ [4, \frac{400}{3}] \approx [4, 133.33] $: $ 4 \le 4 + 2k \le \frac{400}{3} $ $ 0 \le 2k \le \frac{400}{3} - 4 = \frac{388}{3} $ $ 0 \le k \le \frac{194}{3} \approx 64.66... $ Целые значения $ k $: $ 0, 1, 2, ..., 64 $. Количество корней: $ 64 - 0 + 1 = 65 $.

2. $ \sqrt{(\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2})} = 0 $

$ (\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2}) = 0 $. Корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = \frac{400}{3} $. Оба корня принадлежат ОДЗ, так как являются его граничными точками.

Проверим на совпадение корней. Корень $ x = 4 $: $ 4 = 4 + 2k \Rightarrow 2k = 0 \Rightarrow k = 0 $. Это значение $k$ входит в найденный диапазон, значит, $ x=4 $ — общий корень. Корень $ x = \frac{400}{3} $: $ \frac{400}{3} = 4 + 2k \Rightarrow \frac{388}{3} = 2k \Rightarrow k = \frac{194}{3} $. Это не целое число, значит, корень не совпадает с корнями первой серии.

Итого: первая серия дает 65 корней (включая $x=4$), вторая серия дает два корня ($x=4$ и $x=400/3$). Учитывая один общий корень, общее число различных корней равно $ 65 + 2 - 1 = 66 $.

Ответ: 66

в) $ \sin\frac{\pi x}{4}(\lg(x + 3) + \lg(300 - x)) = 0; $

ОДЗ: $ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ 300 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x < 300 \end{cases} \implies x \in (-3, 300) $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \sin\frac{\pi x}{4} = 0 $

$ \frac{\pi x}{4} = \pi k $, где $ k \in Z $. $ x = 4k $. Найдем количество корней в ОДЗ: $ -3 < 4k < 300 $ $ -\frac{3}{4} < k < \frac{300}{4} $ $ -0.75 < k < 75 $ Целые значения $ k $: $ 0, 1, 2, ..., 74 $. Количество корней: $ 74 - 0 + 1 = 75 $.

2. $ \lg(x + 3) + \lg(300 - x) = 0 $

$ \lg((x + 3)(300 - x)) = 0 $ $ (x + 3)(300 - x) = 1 $ $ 300x - x^2 + 900 - 3x = 1 $ $ x^2 - 297x - 899 = 0 $. $ D = (-297)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-899) = 88209 + 3596 = 91805 $. Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня $ x = \frac{297 \pm \sqrt{91805}}{2} $. Проверим, входят ли корни в ОДЗ $ (-3, 300) $. Заметим, что $ 303^2 = 91809 $, поэтому $ \sqrt{91805} < 303 $. $ x_1 = \frac{297 - \sqrt{91805}}{2} > \frac{297 - 303}{2} = -3 $. $ x_2 = \frac{297 + \sqrt{91805}}{2} < \frac{297 + 303}{2} = 300 $. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Корни первой серии целые, второй — иррациональные. Совпадений нет. Общее количество корней: $ 75 + 2 = 77 $.

Ответ: 77

г) $ \cos\frac{\pi (x - 2)}{4} \sqrt{(\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3})} = 0? $

ОДЗ: $ (\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3}) \ge 0 $. Корни сомножителей: $ \frac{x}{8} + 1 = 0 \Rightarrow x = -8 $ и $ 150 - \frac{2x}{3} = 0 \Rightarrow x=225 $. Парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями. ОДЗ: $ x \in [-8, 225] $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cos\frac{\pi (x - 2)}{4} = 0 $

$ \frac{\pi (x - 2)}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $. $ \frac{x - 2}{4} = \frac{1}{2} + k $ $ x - 2 = 2 + 4k \Rightarrow x = 4 + 4k $. Найдем количество корней в ОДЗ: $ -8 \le 4 + 4k \le 225 $ $ -12 \le 4k \le 221 $ $ -3 \le k \le \frac{221}{4} = 55.25 $ Целые значения $ k $: $ -3, -2, ..., 55 $. Количество корней: $ 55 - (-3) + 1 = 59 $.

2. $ \sqrt{(\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3})} = 0 $

$ (\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3}) = 0 $. Корни: $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = 225 $. Оба принадлежат ОДЗ.

Проверим на совпадение корней. Корень $ x = -8 $: $ -8 = 4 + 4k \Rightarrow -12 = 4k \Rightarrow k = -3 $. Входит в диапазон, корень общий. Корень $ x = 225 $: $ 225 = 4 + 4k \Rightarrow 221 = 4k \Rightarrow k = \frac{221}{4} $. Не целое, не общий корень.

Общее число различных корней: $ 59 + 2 - 1 = 60 $.

Ответ: 60