Страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.31* а) $log_{1-x} (7x^2 + 2) = log_{1-x} 30;$

Б) $log_{2-x} (3x^2 - 1) = log_{2-x} 74;$

В) $log_{3-x} (4x^2 - 5) = log_{3-x} 59;$

Г) $log_{4-x} (2x^2 + 3) = log_{4-x} 75.$

Решим уравнение $\log_{1-x}(7x^2+2) = \log_{1-x}30$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $1-x > 0 \implies x < 1$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $1-x \neq 1 \implies x \neq 0$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $7x^2+2 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $7x^2+2 \ge 2 > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению, в котором приравнены выражения под знаком логарифма:

Решаем полученное квадратное уравнение:

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 2$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 1$.
• Корень $x = -2$ входит в ОДЗ, так как $-2 < 1$ и $-2 \neq 0$.

Следовательно, единственным решением является $x = -2$.

Ответ: $-2$.

Решим уравнение $\log_{2-x}(3x^2-1) = \log_{2-x}74$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $2-x > 0 \implies x < 2$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $2-x \neq 1 \implies x \neq 1$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $3x^2-1 > 0 \implies 3x^2 > 1 \implies x^2 > \frac{1}{3} \implies x \in (-\infty; -\frac{1}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{3}}; +\infty)$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{3}}; 1) \cup (1; 2)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Решаем его:

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 5$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 2$.
• Корень $x = -5$ входит в ОДЗ, так как $-5 < -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (поскольку $-\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577$).

Следовательно, решением является $x = -5$.

Ответ: $-5$.

Решим уравнение $\log_{3-x}(4x^2-5) = \log_{3-x}59$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $3-x > 0 \implies x < 3$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $4x^2-5 > 0 \implies 4x^2 > 5 \implies x^2 > \frac{5}{4} \implies x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}; 2) \cup (2; 3)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Решаем его:

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 4$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 3$.
• Корень $x = -4$ входит в ОДЗ, так как $-4 < -\frac{\sqrt{5}}{2}$ (поскольку $-\frac{\sqrt{5}}{2} \approx -1.118$).

Следовательно, решением является $x = -4$.

Ответ: $-4$.

Решим уравнение $\log_{4-x}(2x^2+3) = \log_{4-x}75$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $4-x > 0 \implies x < 4$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $4-x \neq 1 \implies x \neq 3$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $2x^2+3 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $2x^2+3 \ge 3 > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; 4)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Решаем его:

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 6$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 4$.
• Корень $x = -6$ входит в ОДЗ, так как $-6 < 4$ и $-6 \neq 3$.

Следовательно, решением является $x = -6$.

Ответ: $-6$.

9.32* a) $log_{x-1}(x^2 + 2x) = log_{x-1}(2x^2 - 8x + 16);$

б) $log_{x-2}(2x^2 - 9x + 21) = log_{x-2}(x^2 + x).$

а) $\log_{x-1}(x^2+2x) = \log_{x-1}(2x^2-8x+16)$

Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения и неравенств, определяющих область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x^2+2x = 2x^2-8x+16, \\ x-1 > 0, \\ x-1 \ne 1, \\ x^2+2x > 0. \end{cases} $

Решим каждое условие системы:

1. Условие на основание логарифма:
$x-1 > 0 \implies x > 1$
$x-1 \ne 1 \implies x \ne 2$

2. Условие на подлогарифмическое выражение:
$x^2+2x > 0 \implies x(x+2) > 0$. Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

3. Второе подлогарифмическое выражение также должно быть положительным: $2x^2-8x+16 > 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 64 - 128 = -64$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$) и дискриминант отрицателен ($D < 0$), выражение $2x^2-8x+16$ положительно при любых значениях $x$.

Найдем общую ОДЗ, пересекая все условия: $x>1$, $x \ne 2$ и $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
Получаем: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Теперь решим основное уравнение:

$x^2+2x = 2x^2-8x+16$
$2x^2 - x^2 - 8x - 2x + 16 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при $x=2$ основание логарифма $x-1$ становится равным 1. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 8$ входит в ОДЗ, так как $8 \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Таким образом, решением уравнения является $x=8$.

Ответ: $8$.

б) $\log_{x-2}(2x^2-9x+21) = \log_{x-2}(x^2+x)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x^2-9x+21 = x^2+x, \\ x-2 > 0, \\ x-2 \ne 1, \\ x^2+x > 0. \end{cases} $

Решим условия, определяющие ОДЗ:

1. Условие на основание логарифма:
$x-2 > 0 \implies x > 2$
$x-2 \ne 1 \implies x \ne 3$

2. Условие на подлогарифмическое выражение:
$x^2+x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

3. Проверим второе подлогарифмическое выражение: $2x^2-9x+21 > 0$.
Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 81 - 168 = -87$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$) и $D < 0$, выражение $2x^2-9x+21$ всегда положительно.

Найдем общую ОДЗ, пересекая все условия: $x>2$, $x \ne 3$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.
Получаем: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Решим основное уравнение:

$2x^2-9x+21 = x^2+x$
$2x^2 - x^2 - 9x - x + 21 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 7$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как при $x=3$ основание логарифма $x-2$ равно 1. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 7$ входит в ОДЗ, так как $7 \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Следовательно, решением уравнения является $x=7$.

Ответ: $7$.

9.33* Сколько корней имеет уравнение:

a) $ \sin \frac{\pi x}{3} (\lg(x + 5) + \lg(400 - x)) = 0; $

б) $ \cos \frac{\pi (x - 3)}{2} \sqrt{\left(\frac{x}{4} - 1\right)\left(200 - \frac{3x}{2}\right)} = 0; $

в) $ \sin \frac{\pi x}{4} (\lg(x + 3) + \lg(300 - x)) = 0; $

г) $ \cos \frac{\pi (x - 2)}{4} \sqrt{\left(\frac{x}{8} + 1\right)\left(150 - \frac{2x}{3}\right)} = 0? $

а) $ \sin\frac{\pi x}{3}(\lg(x + 5) + \lg(400 - x)) = 0; $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ 400 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -5 \\ x < 400 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-5, 400) $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \sin\frac{\pi x}{3} = 0 $

Это уравнение равносильно тому, что аргумент синуса является кратным $ \pi $: $ \frac{\pi x}{3} = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in Z $). $ x = 3k $. Теперь найдем, сколько целых значений $ k $ дают корни, попадающие в ОДЗ: $ -5 < 3k < 400 $ $ -\frac{5}{3} < k < \frac{400}{3} $ $ -1.66... < k < 133.33... $ Следовательно, $ k $ может принимать целые значения от -1 до 133 включительно. Количество таких значений: $ 133 - (-1) + 1 = 135 $. Эта серия дает 135 корней.

2. $ \lg(x + 5) + \lg(400 - x) = 0 $

Используя свойство суммы логарифмов: $ \lg((x + 5)(400 - x)) = 0 $. По определению десятичного логарифма: $ (x + 5)(400 - x) = 10^0 = 1 $ $ 400x - x^2 + 2000 - 5x = 1 $ $ -x^2 + 395x + 1999 = 0 $ $ x^2 - 395x - 1999 = 0 $. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $ D = b^2 - 4ac = (-395)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1999) = 156025 + 7996 = 164021 $. Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два различных действительных корня: $ x = \frac{395 \pm \sqrt{164021}}{2} $. Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ $ (-5, 400) $. Заметим, что $ 405^2 = 164025 $, поэтому $ \sqrt{164021} < 405 $. Для корня $ x_1 = \frac{395 - \sqrt{164021}}{2} $: $ x_1 > -5 \Leftrightarrow 395 - \sqrt{164021} > -10 \Leftrightarrow 405 > \sqrt{164021} \Leftrightarrow 164025 > 164021 $. Это верно. Для корня $ x_2 = \frac{395 + \sqrt{164021}}{2} $: $ x_2 < 400 \Leftrightarrow 395 + \sqrt{164021} < 800 \Leftrightarrow \sqrt{164021} < 405 $. Это также верно. Оба корня принадлежат ОДЗ. Эта серия дает 2 корня.

Корни первой серии $ x = 3k $ являются целыми числами. Корни второй серии иррациональны, так как 164021 не является полным квадратом. Следовательно, совпадений между корнями из двух серий нет.

Общее количество корней равно сумме корней из обеих серий: $ 135 + 2 = 137 $.

Ответ: 137

б) $ \cos\frac{\pi (x - 3)}{2} \sqrt{(\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2})} = 0; $

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $ (\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2}) \ge 0 $. Найдем корни сомножителей: $ \frac{x}{4} - 1 = 0 \Rightarrow x=4 $ и $ 200 - \frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{400}{3} $. Это квадратичное неравенство относительно $x$ с отрицательным старшим коэффициентом ($-\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}$), поэтому парабола направлена ветвями вниз. Неравенство выполняется между корнями. ОДЗ: $ x \in [4, \frac{400}{3}] $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cos\frac{\pi (x - 3)}{2} = 0 $

Аргумент косинуса должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $: $ \frac{\pi (x - 3)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $ $ \frac{x - 3}{2} = \frac{1}{2} + k $ $ x - 3 = 1 + 2k \Rightarrow x = 4 + 2k $. Найдем количество корней в ОДЗ $ [4, \frac{400}{3}] \approx [4, 133.33] $: $ 4 \le 4 + 2k \le \frac{400}{3} $ $ 0 \le 2k \le \frac{400}{3} - 4 = \frac{388}{3} $ $ 0 \le k \le \frac{194}{3} \approx 64.66... $ Целые значения $ k $: $ 0, 1, 2, ..., 64 $. Количество корней: $ 64 - 0 + 1 = 65 $.

2. $ \sqrt{(\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2})} = 0 $

$ (\frac{x}{4} - 1)(200 - \frac{3x}{2}) = 0 $. Корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = \frac{400}{3} $. Оба корня принадлежат ОДЗ, так как являются его граничными точками.

Проверим на совпадение корней. Корень $ x = 4 $: $ 4 = 4 + 2k \Rightarrow 2k = 0 \Rightarrow k = 0 $. Это значение $k$ входит в найденный диапазон, значит, $ x=4 $ — общий корень. Корень $ x = \frac{400}{3} $: $ \frac{400}{3} = 4 + 2k \Rightarrow \frac{388}{3} = 2k \Rightarrow k = \frac{194}{3} $. Это не целое число, значит, корень не совпадает с корнями первой серии.

Итого: первая серия дает 65 корней (включая $x=4$), вторая серия дает два корня ($x=4$ и $x=400/3$). Учитывая один общий корень, общее число различных корней равно $ 65 + 2 - 1 = 66 $.

Ответ: 66

в) $ \sin\frac{\pi x}{4}(\lg(x + 3) + \lg(300 - x)) = 0; $

ОДЗ: $ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ 300 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x < 300 \end{cases} \implies x \in (-3, 300) $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \sin\frac{\pi x}{4} = 0 $

$ \frac{\pi x}{4} = \pi k $, где $ k \in Z $. $ x = 4k $. Найдем количество корней в ОДЗ: $ -3 < 4k < 300 $ $ -\frac{3}{4} < k < \frac{300}{4} $ $ -0.75 < k < 75 $ Целые значения $ k $: $ 0, 1, 2, ..., 74 $. Количество корней: $ 74 - 0 + 1 = 75 $.

2. $ \lg(x + 3) + \lg(300 - x) = 0 $

$ \lg((x + 3)(300 - x)) = 0 $ $ (x + 3)(300 - x) = 1 $ $ 300x - x^2 + 900 - 3x = 1 $ $ x^2 - 297x - 899 = 0 $. $ D = (-297)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-899) = 88209 + 3596 = 91805 $. Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня $ x = \frac{297 \pm \sqrt{91805}}{2} $. Проверим, входят ли корни в ОДЗ $ (-3, 300) $. Заметим, что $ 303^2 = 91809 $, поэтому $ \sqrt{91805} < 303 $. $ x_1 = \frac{297 - \sqrt{91805}}{2} > \frac{297 - 303}{2} = -3 $. $ x_2 = \frac{297 + \sqrt{91805}}{2} < \frac{297 + 303}{2} = 300 $. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Корни первой серии целые, второй — иррациональные. Совпадений нет. Общее количество корней: $ 75 + 2 = 77 $.

Ответ: 77

г) $ \cos\frac{\pi (x - 2)}{4} \sqrt{(\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3})} = 0? $

ОДЗ: $ (\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3}) \ge 0 $. Корни сомножителей: $ \frac{x}{8} + 1 = 0 \Rightarrow x = -8 $ и $ 150 - \frac{2x}{3} = 0 \Rightarrow x=225 $. Парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями. ОДЗ: $ x \in [-8, 225] $.

Рассмотрим два случая:

1. $ \cos\frac{\pi (x - 2)}{4} = 0 $

$ \frac{\pi (x - 2)}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $. $ \frac{x - 2}{4} = \frac{1}{2} + k $ $ x - 2 = 2 + 4k \Rightarrow x = 4 + 4k $. Найдем количество корней в ОДЗ: $ -8 \le 4 + 4k \le 225 $ $ -12 \le 4k \le 221 $ $ -3 \le k \le \frac{221}{4} = 55.25 $ Целые значения $ k $: $ -3, -2, ..., 55 $. Количество корней: $ 55 - (-3) + 1 = 59 $.

2. $ \sqrt{(\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3})} = 0 $

$ (\frac{x}{8} + 1)(150 - \frac{2x}{3}) = 0 $. Корни: $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = 225 $. Оба принадлежат ОДЗ.

Проверим на совпадение корней. Корень $ x = -8 $: $ -8 = 4 + 4k \Rightarrow -12 = 4k \Rightarrow k = -3 $. Входит в диапазон, корень общий. Корень $ x = 225 $: $ 225 = 4 + 4k \Rightarrow 221 = 4k \Rightarrow k = \frac{221}{4} $. Не целое, не общий корень.

Общее число различных корней: $ 59 + 2 - 1 = 60 $.

Ответ: 60

9.34* ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} = \frac{2}{x^2-a^2}$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} = \frac{2}{x^2 - a^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-a \neq 0$ и $x+a \neq 0$, то есть $x \neq a$ и $x \neq -a$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ и преобразуем его, учитывая ОДЗ:
$x(x+a) + 1(x-a) = 2$
$x^2 + ax + x - a = 2$
$x^2 + (a+1)x - (a+2) = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в двух случаях: либо полученное квадратное уравнение имеет единственный корень, который удовлетворяет ОДЗ, либо оно имеет два различных корня, но только один из них удовлетворяет ОДЗ.

1. Квадратное уравнение имеет один корень.

Это происходит, когда его дискриминант $D$ равен нулю.$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a+2)) = a^2 + 2a + 1 + 4a + 8 = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.Приравниваем дискриминант к нулю:$(a+3)^2 = 0 \implies a = -3$.

При $a=-3$ квадратное уравнение имеет единственный корень:$x = \frac{-(a+1)}{2 \cdot 1} = \frac{-(-3+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ при $a=-3$. ОДЗ в этом случае: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.Поскольку $1 \neq -3$ и $1 \neq 3$, корень $x=1$ является действительным решением.Таким образом, при $a=-3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них является решением.

Это происходит, когда $D > 0$, то есть $(a+3)^2 > 0$, что выполняется для всех $a \neq -3$.В этом случае один из корней должен быть посторонним, то есть совпадать со значением $a$ или $-a$.

а) Один из корней равен $a$.
Подставим $x=a$ в квадратное уравнение $x^2 + (a+1)x - (a+2) = 0$:
$a^2 + (a+1)a - (a+2) = 0$
$a^2 + a^2 + a - a - 2 = 0$
$2a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a=1$ или $a=-1$.

Проверим эти значения:

• При $a=1$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x - 3 = 0$. Его корни $x_1=-3$ и $x_2=1$. ОДЗ при $a=1$: $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Корень $x_2=1$ является посторонним ($x_2=a$). Корень $x_1=-3$ удовлетворяет ОДЗ ($-3 \neq 1$ и $-3 \neq -1$). Следовательно, при $a=1$ есть единственный корень.
• При $a=-1$ уравнение принимает вид $x^2 - 1 = 0$. Его корни $x_1=1$ и $x_2=-1$. ОДЗ при $a=-1$: $x \neq -1$ и $x \neq 1$. Оба корня являются посторонними ($x_1=-a$, $x_2=a$), поэтому решений нет.

б) Один из корней равен $-a$.
Подставим $x=-a$ в квадратное уравнение:
$(-a)^2 + (a+1)(-a) - (a+2) = 0$
$a^2 - a^2 - a - a - 2 = 0$
$-2a - 2 = 0 \implies a=-1$.Этот случай уже рассмотрен выше, он не дает решений.

Объединяя все найденные значения, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=-3$ и $a=1$.

Ответ: $a = -3, a = 1$.