Страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.35 Докажите, что каждое из уравнений $arcsin f(x) = arcsin g(x)$ и $arccos f(x) = arccos g(x)$ равносильно системе

$\arcsin f(x) = \arcsin g(x)$

Чтобы доказать, что уравнение $\arcsin f(x) = \arcsin g(x)$ равносильно системе $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1 \end{cases} $, необходимо доказать два взаимно обратных утверждения:

1. Если $\arcsin f(x) = \arcsin g(x)$, то система верна (доказательство в одну сторону).

2. Если система верна, то $\arcsin f(x) = \arcsin g(x)$ (доказательство в обратную сторону).

Доказательство в одну сторону (уравнение $\Rightarrow$ система):

Пусть дано уравнение $\arcsin f(x) = \arcsin g(x)$.

По определению функции арксинус, ее область определения — это отрезок $[-1, 1]$. Чтобы выражения $\arcsin f(x)$ и $\arcsin g(x)$ имели смысл, их аргументы должны принадлежать этому отрезку. Отсюда получаем два неравенства системы: $-1 \le f(x) \le 1$ и $-1 \le g(x) \le 1$.

Функция $y = \arcsin t$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Это значит, что она взаимно-однозначна, и если значения функции равны, то равны и аргументы. Следовательно, из равенства $\arcsin f(x) = \arcsin g(x)$ следует равенство $f(x) = g(x)$. Это первое уравнение системы.

Таким образом, из истинности исходного уравнения следует истинность всех трех условий системы.

Доказательство в обратную сторону (система $\Rightarrow$ уравнение):

Пусть дана система $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1 \end{cases} $.

Из первого уравнения системы имеем $f(x) = g(x)$. Неравенства системы гарантируют, что значения $f(x)$ и $g(x)$ находятся в области определения функции арксинус. Следовательно, мы можем применить функцию $\arcsin$ к обеим частям равенства $f(x) = g(x)$ и получить верное равенство: $\arcsin(f(x)) = \arcsin(g(x))$.

Таким образом, из истинности системы следует истинность исходного уравнения.

Поскольку мы доказали оба следствия, равносильность уравнения и системы установлена.

Ответ: Уравнение $\arcsin f(x) = \arcsin g(x)$ равносильно указанной системе, что и требовалось доказать.

$\arccos f(x) = \arccos g(x)$

Доказательство для уравнения с арккосинусом проводится полностью аналогично.

Доказательство в одну сторону (уравнение $\Rightarrow$ система):

Пусть дано уравнение $\arccos f(x) = \arccos g(x)$.

По определению, область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для корректности выражения должны выполняться условия: $-1 \le f(x) \le 1$ и $-1 \le g(x) \le 1$.

Функция $y = \arccos t$ является строго убывающей на своей области определения, а значит, является взаимно-однозначной. Поэтому из равенства $\arccos f(x) = \arccos g(x)$ следует равенство аргументов: $f(x) = g(x)$.

Таким образом, из истинности исходного уравнения следует истинность всех трех условий системы.

Доказательство в обратную сторону (система $\Rightarrow$ уравнение):

Пусть дана система $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1 \end{cases} $.

Из первого уравнения имеем $f(x) = g(x)$. Неравенства гарантируют, что $f(x)$ и $g(x)$ принадлежат области определения функции арккосинус. Следовательно, мы можем применить функцию $\arccos$ к обеим частям равенства и получить $\arccos(f(x)) = \arccos(g(x))$.

Таким образом, из истинности системы следует истинность исходного уравнения.

Поскольку мы доказали оба следствия, равносильность уравнения и системы установлена.

Ответ: Уравнение $\arccos f(x) = \arccos g(x)$ равносильно указанной системе, что и требовалось доказать.