Страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.22 a) $\frac{2x^2 + x - 15}{\sqrt{4x^2 - 2x + 25}} = 0;$

б) $\frac{3x^2 - 10x - 8}{\sqrt{9x^2 + 12x + 4}} = 0;$

В) $\frac{2x^2 + 9x - 18}{\sqrt{4x^2 - 12x + 9}} = 0;$

Г) $\frac{3x^2 - 19x + 20}{\sqrt{9x^2 - 24x + 16}} = 0.$

а)

Данное уравнение $\frac{2x^2 + x - 15}{\sqrt{4x^2 - 2x + 25}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x^2 + x - 15 = 0, \\ 4x^2 - 2x + 25 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $2x^2 + x - 15 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$.

2. Проверим условие для знаменателя: $4x^2 - 2x + 25 > 0$.
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$).
Найдем дискриминант этого трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 4 - 400 = -396$.
Так как $D < 0$ и $a > 0$, выражение $4x^2 - 2x + 25$ всегда положительно при любом значении $x$.

Следовательно, оба корня, полученные из числителя, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -3; 2,5.

б)

Данное уравнение $\frac{3x^2 - 10x - 8}{\sqrt{9x^2 + 12x + 4}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 3x^2 - 10x - 8 = 0, \\ 9x^2 + 12x + 4 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $3x^2 - 10x - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.

2. Проверим условие для знаменателя: $9x^2 + 12x + 4 > 0$.
Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом: $9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2$.
Неравенство принимает вид $(3x + 2)^2 > 0$.
Квадрат любого выражения больше нуля, если само выражение не равно нулю. Найдем, когда выражение равно нулю: $3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) - все $x$, кроме $x = -\frac{2}{3}$.

Сравнивая корни числителя с ОДЗ, видим, что корень $x_1 = -\frac{2}{3}$ не входит в ОДЗ и является посторонним. Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию.

Ответ: 4.

в)

Данное уравнение $\frac{2x^2 + 9x - 18}{\sqrt{4x^2 - 12x + 9}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x^2 + 9x - 18 = 0, \\ 4x^2 - 12x + 9 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $2x^2 + 9x - 18 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$.

2. Проверим условие для знаменателя: $4x^2 - 12x + 9 > 0$.
Подкоренное выражение является полным квадратом: $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$.
Неравенство принимает вид $(2x - 3)^2 > 0$.
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $2x - 3 = 0$, то есть $x = \frac{3}{2} = 1,5$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1,5$.

Сравнивая корни числителя с ОДЗ, видим, что корень $x_2 = 1,5$ не входит в ОДЗ. Единственным решением является $x_1 = -6$.

Ответ: -6.

г)

Данное уравнение $\frac{3x^2 - 19x + 20}{\sqrt{9x^2 - 24x + 16}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 3x^2 - 19x + 20 = 0, \\ 9x^2 - 24x + 16 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $3x^2 - 19x + 20 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 - 240 = 121 = 11^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

2. Проверим условие для знаменателя: $9x^2 - 24x + 16 > 0$.
Подкоренное выражение является полным квадратом: $9x^2 - 24x + 16 = (3x - 4)^2$.
Неравенство принимает вид $(3x - 4)^2 > 0$.
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $3x - 4 = 0$, то есть $x = \frac{4}{3}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{4}{3}$.

Сравнивая корни числителя с ОДЗ, видим, что корень $x_1 = \frac{4}{3}$ не входит в ОДЗ. Единственным решением является $x_2 = 5$.

Ответ: 5.

9.23 а) $\frac{\sin 2x}{x} = 0;$

б) $\frac{\sin 2x}{\sin x} + \frac{\cos 2x}{\cos x} = 0.$

а) Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{x} = 0 $.

Дробное уравнение равно нулю в том и только в том случае, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Условие равенства числителя нулю:

$ \sin 2x = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение имеет вид:

$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ ( $ \mathbb{Z} $ – множество всех целых чисел).

Выразим $x$:

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. Условие отличия знаменателя от нуля (область допустимых значений, ОДЗ):

$ x \neq 0 $.

3. Совместим полученное решение с ОДЗ. Необходимо исключить из множества корней $ x = \frac{\pi n}{2} $ те значения, при которых $ x = 0 $.

Равенство $ \frac{\pi n}{2} = 0 $ выполняется при $ n = 0 $.

Следовательно, значение $ n = 0 $ нужно исключить из решения.

В итоге получаем, что решением уравнения являются все числа вида $ x = \frac{\pi n}{2} $ для любого целого $ n $, кроме нуля.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z}, \; n \neq 0 $.

б) Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{\sin x} + \frac{\cos 2x}{\cos x} = 0 $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль:

$ \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \; k \in \mathbb{Z} $

$ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, \; m \in \mathbb{Z} $

Объединяя эти два условия, получаем, что $ x \neq \frac{\pi n}{2} $ для любого целого $ n $.

2. На ОДЗ приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$ \frac{\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x}{\sin x \cos x} = 0 $

3. В числителе дроби видим формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Применив ее, получаем:

$ \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin(2x + x) = \sin(3x) $

4. Уравнение принимает вид:

$ \frac{\sin(3x)}{\sin x \cos x} = 0 $

Это уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin(3x) = 0 \\ \sin x \cos x \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \sin(3x) = 0 $

$ 3x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

5. Теперь из найденных решений $ x = \frac{\pi n}{3} $ отберем те, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть $ x \neq \frac{\pi k}{2} $.

Для этого найдем, при каких целых $ n $ и $ k $ выполняется равенство:

$ \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi k}{2} $

$ \frac{n}{3} = \frac{k}{2} \implies 2n = 3k $

Так как числа 2 и 3 взаимно простые, это равенство возможно только в том случае, если $ n $ кратно 3 (т.е. $ n = 3j $ для некоторого $ j \in \mathbb{Z} $). Если $ n $ кратно 3, то $ x = \frac{\pi (3j)}{3} = \pi j $, что является недопустимым значением согласно ОДЗ.

Следовательно, из серии решений $ x = \frac{\pi n}{3} $ необходимо исключить все значения, где $ n $ делится на 3.

Это означает, что подходят только те $ n $, которые при делении на 3 дают в остатке 1 или 2.

• Если $ n = 3k+1 $, то $ x = \frac{\pi(3k+1)}{3} = \pi k + \frac{\pi}{3} $.
• Если $ n = 3k+2 $, то $ x = \frac{\pi(3k+2)}{3} = \pi k + \frac{2\pi}{3} $.

Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную форму. Заметим, что $ \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} $. Тогда вторая серия $ x = \pi k + \pi - \frac{\pi}{3} = \pi(k+1) - \frac{\pi}{3} $. Поскольку $ k $ пробегает все целые числа, $ k+1 $ также пробегает все целые числа. Таким образом, обе серии можно записать как $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z} $.

9.24* Докажите, что равносильны уравнение и система:

a) $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a (f(x) \cdot g(x))$ и $\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0, \end{cases}$ где $a>0, a \neq 1$.

б) $\log_{g(x)} f(x) = \log_{g(x)} \varphi(x)$ и $\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ g(x)>0 \\ g(x) \neq 1. \end{cases}$

a)

Чтобы доказать, что уравнение $log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x) \cdot g(x))$ и система $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ равносильны, нужно показать, что множества их решений совпадают. Два уравнения (или уравнение и система) называются равносильными, если множества их решений равны.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x) \cdot g(x))$.

ОДЗ определяется следующими условиями:

• Для левой части $log_a f(x) + log_a g(x)$: аргументы логарифмов должны быть строго положительными, то есть $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
• Для правой части $log_a (f(x) \cdot g(x))$: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) \cdot g(x) > 0$. Это выполняется, когда $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).

ОДЗ всего уравнения является пересечением ОДЗ его левой и правой частей. Следовательно, все условия должны выполняться одновременно. Условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ являются более строгими, так как из них автоматически следует, что $f(x) \cdot g(x) > 0$. Таким образом, ОДЗ уравнения задается системой:

$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$

2. Решим уравнение на его ОДЗ.

На множестве, где $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$, основное свойство логарифма $log_a M + log_a N = log_a(M \cdot N)$ является тождеством. Это означает, что исходное уравнение превращается в верное равенство для любого значения $x$ из его ОДЗ.

3. Сделаем вывод.

Множество решений уравнения — это все значения $x$, которые принадлежат его ОДЗ. Как мы установили, ОДЗ уравнения — это множество всех $x$, удовлетворяющих системе $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$.

Множество решений системы $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ по определению является множеством всех $x$, удовлетворяющих этой системе.

Поскольку множества решений уравнения и системы совпадают, они равносильны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что уравнение $log_{g(x)} f(x) = log_{g(x)} \varphi(x)$ и система $\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$ равносильны, покажем, что их множества решений совпадают.

1. Найдем ОДЗ уравнения $log_{g(x)} f(x) = log_{g(x)} \varphi(x)$.

Для существования логарифмов в уравнении должны выполняться следующие условия:

• Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$.
• Основание логарифма $g(x)$ должно быть строго положительным и не равным единице: $g(x) > 0$ и $g(x) \neq 1$.

Следовательно, ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:

$\begin{cases} f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$

2. Решим уравнение на его ОДЗ.

На множестве значений $x$, удовлетворяющих ОДЗ, логарифмическая функция является монотонной. Поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием равносильно равенству их аргументов:

$f(x) = \varphi(x)$

Таким образом, решение исходного уравнения должно удовлетворять как уравнению $f(x) = \varphi(x)$, так и всем условиям ОДЗ.

3. Сделаем вывод.

Множество решений уравнения — это множество всех $x$, для которых одновременно выполняются условия ОДЗ и полученное из уравнения равенство. Объединив их, получаем систему:

$\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$

Это в точности та система, которая дана в условии задачи. Следовательно, множества решений уравнения и системы совпадают, а значит, они равносильны.

Замечание: В данной системе условия $f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$ являются избыточными при наличии уравнения $f(x) = \varphi(x)$. Достаточно было бы оставить только одно из них, например $f(x) > 0$, так как из него и равенства $f(x) = \varphi(x)$ автоматически следует, что $\varphi(x) > 0$. Тем не менее, представленная в задаче система равносильна уравнению.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9.25* Докажите, что равносильны уравнение и совокупность двух систем:

а) $|f(x)| = g(x)$; $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} f(x) = -g(x) \\ g(x) \ge 0; \end{cases}$

б) $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) + g(x)}$; $\begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0. \end{cases}$

а)

Требуется доказать, что уравнение $|f(x)| = g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) = -g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \end{array} \right. $

Для доказательства равносильности покажем, что любое решение уравнения является решением совокупности, и любое решение совокупности является решением уравнения.

1. Докажем, что решение уравнения является решением совокупности.

Пусть $x_0$ — корень уравнения $|f(x)| = g(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение получается верное числовое равенство: $|f(x_0)| = g(x_0)$.

По определению модуля, значение $|f(x_0)|$ всегда неотрицательно, то есть $|f(x_0)| \ge 0$. Из равенства следует, что и правая часть должна быть неотрицательной: $g(x_0) \ge 0$.

Также по определению модуля, равенство $|a| = b$ возможно в двух случаях: $a = b$ или $a = -b$. Применительно к нашему уравнению это означает, что должно выполняться одно из двух равенств: $f(x_0) = g(x_0)$ или $f(x_0) = -g(x_0)$.

Таким образом, для любого корня $x_0$ исходного уравнения одновременно выполняются условия:

($g(x_0) \ge 0$ и $f(x_0) = g(x_0)$) ИЛИ ($g(x_0) \ge 0$ и $f(x_0) = -g(x_0)$).

Это в точности означает, что $x_0$ является решением одной из двух систем в совокупности.

2. Докажем, что решение совокупности является решением уравнения.

Пусть $x_0$ — решение совокупности. Это означает, что $x_0$ является решением как минимум одной из двух систем.

Случай 1: $x_0$ является решением первой системы $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

Тогда $f(x_0) = g(x_0)$ и $g(x_0) \ge 0$. Из этих двух условий следует, что $f(x_0) \ge 0$. Для неотрицательных значений $f(x_0)$ модуль раскрывается как $|f(x_0)| = f(x_0)$. Так как $f(x_0) = g(x_0)$, то, подставив это в выражение для модуля, получаем $|f(x_0)| = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ — корень исходного уравнения.

Случай 2: $x_0$ является решением второй системы $\begin{cases} f(x) = -g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

Тогда $f(x_0) = -g(x_0)$ и $g(x_0) \ge 0$. Из условия $g(x_0) \ge 0$ следует, что $-g(x_0) \le 0$, а значит $f(x_0) \le 0$. Для неположительных значений $f(x_0)$ модуль раскрывается как $|f(x_0)| = -f(x_0)$. Подставим в это равенство $f(x_0) = -g(x_0)$: $|f(x_0)| = -(-g(x_0)) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ — корень исходного уравнения.

Поскольку множества решений уравнения и совокупности систем полностью совпадают, они равносильны.

Ответ: Равносильность доказана.

б)

Требуется доказать, что уравнение $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) + g(x)}$ равносильно совокупности двух систем: $ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \end{array} \right. $

Начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) + g(x) \ge 0 \end{cases} $

Если первые два неравенства $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$ выполнены, то их сумма $f(x) + g(x)$ также будет неотрицательной. Таким образом, третье неравенство является следствием первых двух, и ОДЗ можно записать в виде системы: $ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $

Теперь решим уравнение на его ОДЗ. Поскольку обе части уравнения $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) + g(x)}$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не рискуя получить посторонние корни.

$(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)})^2 = (\sqrt{f(x) + g(x)})^2$

$f(x) + 2\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} + g(x) = f(x) + g(x)$

Вычтем из обеих частей $f(x) + g(x)$:

$2\sqrt{f(x)g(x)} = 0$

$\sqrt{f(x)g(x)} = 0$

Возведя в квадрат еще раз, получаем:

$f(x)g(x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $f(x) = 0$ или $g(x) = 0$.

Итак, для нахождения решений исходного уравнения мы должны совместить полученное условие $f(x)g(x) = 0$ с ОДЗ. Это равносильно решению системы: $ \begin{cases} f(x)g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $

Данная система эквивалентна совокупности двух систем (рассматриваем случаи $f(x)=0$ и $g(x)=0$):

1. Если $f(x) = 0$, то система принимает вид: $ \begin{cases} f(x) = 0 \\ 0 \ge 0 \text{ (верно)} \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $, что упрощается до $\begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

2. Если $g(x) = 0$, то система принимает вид: $ \begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \\ 0 \ge 0 \text{ (верно)} \end{cases} $, что упрощается до $\begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$.

Таким образом, мы показали, что исходное уравнение равносильно совокупности этих двух систем.

Ответ: Равносильность доказана.

Решите уравнение (9.26–9.32):

9.26* a) $\log_2(x - 2) + \log_2(x - 3) = \log_2(x^2 - 5x + 6);$

б) $\log_3(x - 3) + \log_3(4 - x) = \log_3(-x^2 + 7x - 12);$

в) $\lg(x^2 - 5x + 6) + \lg(5x - x^2 - 4) = \lg((x^2 - 5x + 6)(5x - x^2 - 4)).$

a)

Исходное уравнение:

$\log_2(x - 2) + \log_2(x - 3) = \log_2(x^2 - 5x + 6)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1. $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

2. $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

3. $x^2 - 5x + 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

Пересечением всех трех условий ($x > 2$, $x > 3$ и $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$) является интервал $x > 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2((x - 2)(x - 3)) = \log_2(x^2 - 5x + 6)$

Раскроем скобки в аргументе левого логарифма:

$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Уравнение принимает вид:

$\log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(x^2 - 5x + 6)$

Это тождество, верное для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, решением уравнения является вся его область определения.

Ответ: $(3; +\infty)$.

б)

Исходное уравнение:

$\log_3(x - 3) + \log_3(4 - x) = \log_3(-x^2 + 7x - 12)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 4 - x > 0 \\ -x^2 + 7x - 12 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1. $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

2. $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$

3. $-x^2 + 7x - 12 > 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 7x + 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны $x_1 = 3$, $x_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (3; 4)$.

Объединяя условия $x > 3$ и $x < 4$, получаем $3 < x < 4$. Это полностью совпадает с решением третьего неравенства.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; 4)$.

Преобразуем левую часть уравнения по свойству суммы логарифмов:

$\log_3((x - 3)(4 - x)) = \log_3(-x^2 + 7x - 12)$

Раскроем скобки:

$(x - 3)(4 - x) = 4x - x^2 - 12 + 3x = -x^2 + 7x - 12$

Уравнение принимает вид:

$\log_3(-x^2 + 7x - 12) = \log_3(-x^2 + 7x - 12)$

Это тождество, которое верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $(3; 4)$.

в)

Исходное уравнение:

$\lg(x^2 - 5x + 6) + \lg(5x - x^2 - 4) = \lg((x^2 - 5x + 6)(5x - x^2 - 4))$

Данное уравнение имеет вид $\lg A + \lg B = \lg(A \cdot B)$. Это равенство является тождеством, но оно определено только в том случае, когда оба аргумента логарифмов в левой части положительны, то есть $A > 0$ и $B > 0$. Если эти условия выполнены, то и аргумент логарифма в правой части $A \cdot B$ будет автоматически положителен.

Следовательно, решение уравнения сводится к решению системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 5x - x^2 - 4 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

Корни квадратного трехчлена $x_1=2, x_2=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $5x - x^2 - 4 > 0$.

Умножим на -1: $x^2 - 5x + 4 < 0$.

Корни квадратного трехчлена $x_1=1, x_2=4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (1; 4)$.

3. Теперь найдем пересечение полученных множеств решений:

$( (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) ) \cap (1; 4)$

Это пересечение состоит из двух интервалов: $(1; 2)$ и $(3; 4)$.

Таким образом, решением уравнения является объединение этих интервалов.

Ответ: $(1; 2) \cup (3; 4)$.

9.27* a) $\log_x (2x^2 - 2x - 3) = 2;$

б) $\log_x (x^3 - 5x + 7) = 3;$

в) $\log_x (x + 2) = 2;$

г) $\log_x (x + 6) = 2.$

а) Исходное уравнение: $\log_x(2x^2 - 2x - 3) = 2$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, в которой основание логарифма $x > 0$ и $x \neq 1$ , а аргумент логарифма $2x^2 - 2x - 3 > 0$ . Преобразуем логарифмическое уравнение в показательное:
$2x^2 - 2x - 3 = x^2$
Соберем все члены в левой части уравнения:
$2x^2 - x^2 - 2x - 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни:
$x_1 = 3$ и $x_2 = -1$ .
Теперь выполним проверку найденных корней на соответствие области допустимых значений (ОДЗ).
Проверка для $x_1 = 3$ :
1. $x > 0 \implies 3 > 0$ (верно).
2. $x \neq 1 \implies 3 \neq 1$ (верно).
3. $2x^2 - 2x - 3 > 0 \implies 2(3)^2 - 2(3) - 3 = 2 \cdot 9 - 6 - 3 = 18 - 9 = 9 > 0$ (верно).
Корень $x = 3$ удовлетворяет всем условиям.
Проверка для $x_2 = -1$ :
1. $x > 0 \implies -1 > 0$ (неверно).
Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Ответ: 3

б) Исходное уравнение: $\log_x(x^3 - 5x + 7) = 3$.
По определению логарифма, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^3 = x^3 - 5x + 7 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $
(Условие на положительность аргумента $x^3 - 5x + 7 > 0$ будет проверено после нахождения корня).
Решим первое уравнение системы:
$x^3 = x^3 - 5x + 7$
$0 = -5x + 7$
$5x = 7$
$x = \frac{7}{5} = 1,4$
Проверим найденный корень на соответствие ОДЗ.
1. $x > 0 \implies 1,4 > 0$ (верно).
2. $x \neq 1 \implies 1,4 \neq 1$ (верно).
3. Проверим условие $x^3 - 5x + 7 > 0$ . Из первого уравнения системы мы знаем, что $x^3 - 5x + 7 = x^3$ . Так как $x=1,4 > 0$ , то и $x^3 = (1,4)^3 > 0$ , следовательно, условие выполняется.
Корень $x = 1,4$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: 1,4

в) Исходное уравнение: $\log_x(x + 2) = 2$.
По определению логарифма, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 = x + 2 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $
(Условие $x + 2 > 0$ выполняется автоматически, так как $x + 2 = x^2$ , а $x^2 > 0$ для любого $x > 0$ ).
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$ .
Проверим корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ .
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет обоим условиям ( $2 > 0$ и $2 \neq 1$ ).
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$ , поэтому является посторонним.
Ответ: 2

г) Исходное уравнение: $\log_x(x + 6) = 2$.
По определению логарифма, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 = x + 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $
(Условие $x + 6 > 0$ выполняется автоматически, так как $x + 6 = x^2$ , а $x^2 > 0$ для любого $x > 0$ ).
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - x - 6 = 0$
Корни квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$ .
Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ .
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет обоим условиям ( $3 > 0$ и $3 \neq 1$ ).
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$ , поэтому является посторонним.
Ответ: 3

9.28* a) $|x^2 - 4x + 2| = -x^2 + 6x - 6;$

б) $|x^2 - 2x - 1| = -x^2 + 4x - 1;$

В) $|x^2 - 2x - 8| = x^2 + 2x - 10;$

Г) $|x^2 - 3x - 1| = x^2 + 3x - 7.$

а) Решим уравнение $|x^2 - 4x + 2| = -x^2 + 6x - 6$.

Данное уравнение имеет вид $|A| = B$. Оно равносильно системе, состоящей из условия $B \ge 0$ и совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) из условия, что правая часть уравнения неотрицательна:

$-x^2 + 6x - 6 \ge 0$

$x^2 - 6x + 6 \le 0$

Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 6 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$

Парабола $y = x^2 - 6x + 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями: $x \in [3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}]$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 6$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1, x_2 = 4$.

Случай 2: $x^2 - 4x + 2 = -(-x^2 + 6x - 6)$

$x^2 - 4x + 2 = x^2 - 6x + 6$

$2x = 4$

$x_3 = 2$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in [3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}]$.

Приближённо, $\sqrt{3} \approx 1.732$, тогда ОДЗ: $[3 - 1.732, 3 + 1.732] \approx [1.268, 4.732]$.

Корень $x_1 = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 < 1.268$.

Корень $x_2 = 4$ принадлежит ОДЗ, так как $1.268 < 4 < 4.732$.

Корень $x_3 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $1.268 < 2 < 4.732$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=2$ и $x=4$.

Ответ: 2; 4.

б) Решим уравнение $|x^2 - 2x - 1| = -x^2 + 4x - 1$.

1. Найдём ОДЗ из условия $-x^2 + 4x - 1 \ge 0$, что равносильно $x^2 - 4x + 1 \le 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

ОДЗ: $x \in [2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x^2 - 2x - 1 = -x^2 + 4x - 1$

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x - 3) = 0$

$x_1 = 0, x_2 = 3$.

Случай 2: $x^2 - 2x - 1 = -(-x^2 + 4x - 1)$

$x^2 - 2x - 1 = x^2 - 4x + 1$

$2x = 2$

$x_3 = 1$.

3. Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$.

Приближённо, $\sqrt{3} \approx 1.732$, ОДЗ: $[2 - 1.732, 2 + 1.732] \approx [0.268, 3.732]$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит ОДЗ, так как $0 < 0.268$.

Корень $x_2 = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $0.268 < 3 < 3.732$.

Корень $x_3 = 1$ принадлежит ОДЗ, так как $0.268 < 1 < 3.732$.

Решениями уравнения являются $x=1$ и $x=3$.

Ответ: 1; 3.

в) Решим уравнение $|x^2 - 2^x - 8| = x^2 + 2^x - 10$.

1. ОДЗ уравнения определяется условием $x^2 + 2^x - 10 \ge 0$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x^2 - 2^x - 8 = x^2 + 2^x - 10$

$-2^x - 8 = 2^x - 10$

$2 = 2 \cdot 2^x$

$2^x = 1$

$x_1 = 0$.

Случай 2: $x^2 - 2^x - 8 = -(x^2 + 2^x - 10)$

$x^2 - 2^x - 8 = -x^2 - 2^x + 10$

$2x^2 - 18 = 0$

$x^2 = 9$

$x_2 = 3, x_3 = -3$.

3. Проверим найденные корни, подставив их в условие ОДЗ $x^2 + 2^x - 10 \ge 0$.

Для $x_1 = 0$: $0^2 + 2^0 - 10 = 1 - 10 = -9$. Неравенство $-9 \ge 0$ ложно, значит, $x=0$ не является корнем.

Для $x_2 = 3$: $3^2 + 2^3 - 10 = 9 + 8 - 10 = 7$. Неравенство $7 \ge 0$ истинно, значит, $x=3$ является корнем.

Для $x_3 = -3$: $(-3)^2 + 2^{-3} - 10 = 9 + \frac{1}{8} - 10 = -1 + \frac{1}{8} = -\frac{7}{8}$. Неравенство $-\frac{7}{8} \ge 0$ ложно, значит, $x=-3$ не является корнем.

Единственное решение уравнения – $x=3$.

Ответ: 3.

г) Решим уравнение $|x^2 - 3^x - 1| = x^2 + 3^x - 7$.

1. ОДЗ уравнения: $x^2 + 3^x - 7 \ge 0$.

2. Раскроем модуль:

Случай 1: $x^2 - 3^x - 1 = x^2 + 3^x - 7$

$-3^x - 1 = 3^x - 7$

$6 = 2 \cdot 3^x$

$3^x = 3$

$x_1 = 1$.

Случай 2: $x^2 - 3^x - 1 = -(x^2 + 3^x - 7)$

$x^2 - 3^x - 1 = -x^2 - 3^x + 7$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x_2 = 2, x_3 = -2$.

3. Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x^2 + 3^x - 7 \ge 0$.

Для $x_1 = 1$: $1^2 + 3^1 - 7 = 1 + 3 - 7 = -3$. Неравенство $-3 \ge 0$ ложно. Корень не подходит.

Для $x_2 = 2$: $2^2 + 3^2 - 7 = 4 + 9 - 7 = 6$. Неравенство $6 \ge 0$ истинно. Корень подходит.

Для $x_3 = -2$: $(-2)^2 + 3^{-2} - 7 = 4 + \frac{1}{9} - 7 = -3 + \frac{1}{9} = -\frac{26}{9}$. Неравенство $-\frac{26}{9} \ge 0$ ложно. Корень не подходит.

Единственное решение уравнения – $x=2$.

Ответ: 2.

9.29* a) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x};$

Б) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x+1};$

В) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x};$

Г) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x-1}.$

а) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$2x \ge 0 \implies x \ge 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 2$.

На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x-2)} + (x-2) = 2x$
$2x + 2\sqrt{x^2 - 4} = 2x$
Вычтем $2x$ из обеих частей:
$2\sqrt{x^2 - 4} = 0$
$\sqrt{x^2 - 4} = 0$
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
Получаем корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $x=2$.

б) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x+1}$

Найдем ОДЗ:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x+1})^2$
$(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2) = 2x+1$
$2x+1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6} = 2x+1$
$2\sqrt{x^2 + x - 6} = 0$
$\sqrt{x^2 + x - 6} = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=2$.

в) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x}$

Найдем ОДЗ:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$2x \ge 0 \implies x \ge 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x})^2$
$(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-3)} + (x-3) = 2x$
$2x + 2\sqrt{x^2 - 9} = 2x$
$2\sqrt{x^2 - 9} = 0$
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
Получаем корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 3$).
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=3$.

г) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x-1}$

Найдем ОДЗ:
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x-1})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x-3)} + (x-3) = 2x-1$
$2x-1 + 2\sqrt{x^2 - x - 6} = 2x-1$
$2\sqrt{x^2 - x - 6} = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 3$).
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=3$.

9.30* a) $\sqrt{2^x - 4} + \sqrt{2^x - 8} = \sqrt{2^{x+1} - 12}$;

б) $\sqrt{3^x - 9} + \sqrt{3^x - 3} = \sqrt{2 \cdot 3^x - 12}$;

в) $\sqrt{\log_5 x - 1} + \sqrt{2^x - 2} = \sqrt{\log_5 x + 2^x - 3}$;

г) $\sqrt{\log_6 x - 1} + \sqrt{3^x - 9} = \sqrt{\log_6 x + 3^x - 10}$.

а) $\sqrt{2^x - 4} + \sqrt{2^x - 8} = \sqrt{2^{x+1} - 12}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$2^x - 4 \ge 0 \implies 2^x \ge 4 \implies x \ge 2$.
$2^x - 8 \ge 0 \implies 2^x \ge 8 \implies x \ge 3$.
$2^{x+1} - 12 \ge 0 \implies 2 \cdot 2^x \ge 12 \implies 2^x \ge 6 \implies x \ge \log_2 6$.
Так как $2 < \log_2 6 < 3$, то пересечением этих условий является $x \ge 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.
Заметим, что правая часть уравнения является корнем из суммы подкоренных выражений левой части:
$(2^x - 4) + (2^x - 8) = 2 \cdot 2^x - 12 = 2^{x+1} - 12$.
Пусть $A = 2^x - 4$ и $B = 2^x - 8$. Тогда уравнение принимает вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$.
В ОДЗ все подкоренные выражения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = (\sqrt{A+B})^2$
$A + 2\sqrt{AB} + B = A+B$
$2\sqrt{AB} = 0 \implies AB = 0$.
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $A=0$ или $B=0$.
1) $2^x - 4 = 0 \implies 2^x = 4 \implies x = 2$. Этот корень не входит в ОДЗ.
2) $2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 8 \implies x = 3$. Этот корень входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=3$: $\sqrt{2^3-4} + \sqrt{2^3-8} = \sqrt{8-4} + \sqrt{8-8} = \sqrt{4} + 0 = 2$. Правая часть: $\sqrt{2^{3+1}-12} = \sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2$. Равенство верно.
Ответ: $3$.

б) $\sqrt{3^x - 9} + \sqrt{3^x - 3} = \sqrt{2 \cdot 3^x - 12}$
Найдем ОДЗ:
$3^x - 9 \ge 0 \implies 3^x \ge 9 \implies x \ge 2$.
$3^x - 3 \ge 0 \implies 3^x \ge 3 \implies x \ge 1$.
$2 \cdot 3^x - 12 \ge 0 \implies 3^x \ge 6 \implies x \ge \log_3 6$.
Так как $1 < \log_3 6 < 2$, то пересечением условий является $x \ge 2$. ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.
Заметим, что $(3^x - 9) + (3^x - 3) = 2 \cdot 3^x - 12$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$, где $A = 3^x - 9$ и $B = 3^x - 3$. Такое равенство, как показано в пункте а), эквивалентно условию $A=0$ или $B=0$.
1) $3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies x = 2$. Корень входит в ОДЗ.
2) $3^x - 3 = 0 \implies 3^x = 3 \implies x = 1$. Корень не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=2$: $\sqrt{3^2-9} + \sqrt{3^2-3} = \sqrt{0} + \sqrt{6} = \sqrt{6}$. Правая часть: $\sqrt{2 \cdot 3^2 - 12} = \sqrt{18-12} = \sqrt{6}$. Равенство верно.
Ответ: $2$.

в) $\sqrt{\log_5 x - 1} + \sqrt{2^x - 2} = \sqrt{\log_5 x + 2^x - 3}$
Найдем ОДЗ:
$x > 0$ (из определения логарифма).
$\log_5 x - 1 \ge 0 \implies \log_5 x \ge 1 \implies x \ge 5$.
$2^x - 2 \ge 0 \implies 2^x \ge 2 \implies x \ge 1$.
Пересечением всех условий является $x \ge 5$. ОДЗ: $x \in [5, +\infty)$. (Условие $\log_5 x + 2^x - 3 \ge 0$ также выполняется при $x \ge 5$).
Заметим, что $(\log_5 x - 1) + (2^x - 2) = \log_5 x + 2^x - 3$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$, что эквивалентно $A=0$ или $B=0$, где $A = \log_5 x - 1$ и $B = 2^x - 2$.
1) $\log_5 x - 1 = 0 \implies \log_5 x = 1 \implies x = 5$. Корень входит в ОДЗ.
2) $2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$. Корень не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=5$: $\sqrt{\log_5 5 - 1} + \sqrt{2^5 - 2} = \sqrt{1-1} + \sqrt{32-2} = 0 + \sqrt{30} = \sqrt{30}$. Правая часть: $\sqrt{\log_5 5 + 2^5 - 3} = \sqrt{1+32-3} = \sqrt{30}$. Равенство верно.
Ответ: $5$.

г) $\sqrt{\log_6 x - 1} + \sqrt{3^x - 9} = \sqrt{\log_6 x + 3^x - 10}$
Найдем ОДЗ:
$x > 0$ (из определения логарифма).
$\log_6 x - 1 \ge 0 \implies \log_6 x \ge 1 \implies x \ge 6$.
$3^x - 9 \ge 0 \implies 3^x \ge 9 \implies x \ge 2$.
Пересечением всех условий является $x \ge 6$. ОДЗ: $x \in [6, +\infty)$. (Условие $\log_6 x + 3^x - 10 \ge 0$ также выполняется при $x \ge 6$).
Заметим, что $(\log_6 x - 1) + (3^x - 9) = \log_6 x + 3^x - 10$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$, что эквивалентно $A=0$ или $B=0$, где $A = \log_6 x - 1$ и $B = 3^x - 9$.
1) $\log_6 x - 1 = 0 \implies \log_6 x = 1 \implies x = 6$. Корень входит в ОДЗ.
2) $3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies x = 2$. Корень не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=6$: $\sqrt{\log_6 6 - 1} + \sqrt{3^6 - 9} = \sqrt{1-1} + \sqrt{729-9} = 0 + \sqrt{720} = \sqrt{720}$. Правая часть: $\sqrt{\log_6 6 + 3^6 - 10} = \sqrt{1+729-10} = \sqrt{720}$. Равенство верно.
Ответ: $6$.