Номер 9.26, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.26, страница 252.

Условие.

Решите уравнение (9.26–9.32):

9.26* a) $\log_2(x - 2) + \log_2(x - 3) = \log_2(x^2 - 5x + 6);$

б) $\log_3(x - 3) + \log_3(4 - x) = \log_3(-x^2 + 7x - 12);$

в) $\lg(x^2 - 5x + 6) + \lg(5x - x^2 - 4) = \lg((x^2 - 5x + 6)(5x - x^2 - 4)).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Исходное уравнение:

$\log_2(x - 2) + \log_2(x - 3) = \log_2(x^2 - 5x + 6)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1. $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

2. $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

3. $x^2 - 5x + 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

Пересечением всех трех условий ($x > 2$, $x > 3$ и $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$) является интервал $x > 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2((x - 2)(x - 3)) = \log_2(x^2 - 5x + 6)$

Раскроем скобки в аргументе левого логарифма:

$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Уравнение принимает вид:

$\log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(x^2 - 5x + 6)$

Это тождество, верное для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, решением уравнения является вся его область определения.

Ответ: $(3; +\infty)$.

б)

Исходное уравнение:

$\log_3(x - 3) + \log_3(4 - x) = \log_3(-x^2 + 7x - 12)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 4 - x > 0 \\ -x^2 + 7x - 12 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1. $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

2. $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$

3. $-x^2 + 7x - 12 > 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 7x + 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ равны $x_1 = 3$, $x_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (3; 4)$.

Объединяя условия $x > 3$ и $x < 4$, получаем $3 < x < 4$. Это полностью совпадает с решением третьего неравенства.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; 4)$.

Преобразуем левую часть уравнения по свойству суммы логарифмов:

$\log_3((x - 3)(4 - x)) = \log_3(-x^2 + 7x - 12)$

Раскроем скобки:

$(x - 3)(4 - x) = 4x - x^2 - 12 + 3x = -x^2 + 7x - 12$

Уравнение принимает вид:

$\log_3(-x^2 + 7x - 12) = \log_3(-x^2 + 7x - 12)$

Это тождество, которое верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $(3; 4)$.

в)

Исходное уравнение:

$\lg(x^2 - 5x + 6) + \lg(5x - x^2 - 4) = \lg((x^2 - 5x + 6)(5x - x^2 - 4))$

Данное уравнение имеет вид $\lg A + \lg B = \lg(A \cdot B)$. Это равенство является тождеством, но оно определено только в том случае, когда оба аргумента логарифмов в левой части положительны, то есть $A > 0$ и $B > 0$. Если эти условия выполнены, то и аргумент логарифма в правой части $A \cdot B$ будет автоматически положителен.

Следовательно, решение уравнения сводится к решению системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 5x - x^2 - 4 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

Корни квадратного трехчлена $x_1=2, x_2=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $5x - x^2 - 4 > 0$.

Умножим на -1: $x^2 - 5x + 4 < 0$.

Корни квадратного трехчлена $x_1=1, x_2=4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (1; 4)$.

3. Теперь найдем пересечение полученных множеств решений:

$( (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) ) \cap (1; 4)$

Это пересечение состоит из двух интервалов: $(1; 2)$ и $(3; 4)$.

Таким образом, решением уравнения является объединение этих интервалов.

Ответ: $(1; 2) \cup (3; 4)$.