Номер 9.32, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.32, страница 253.

Условие.

9.32* a) $log_{x-1}(x^2 + 2x) = log_{x-1}(2x^2 - 8x + 16);$

б) $log_{x-2}(2x^2 - 9x + 21) = log_{x-2}(x^2 + x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\log_{x-1}(x^2+2x) = \log_{x-1}(2x^2-8x+16)$

Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения и неравенств, определяющих область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x^2+2x = 2x^2-8x+16, \\ x-1 > 0, \\ x-1 \ne 1, \\ x^2+2x > 0. \end{cases} $

Решим каждое условие системы:

1. Условие на основание логарифма:
$x-1 > 0 \implies x > 1$
$x-1 \ne 1 \implies x \ne 2$

2. Условие на подлогарифмическое выражение:
$x^2+2x > 0 \implies x(x+2) > 0$. Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

3. Второе подлогарифмическое выражение также должно быть положительным: $2x^2-8x+16 > 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 64 - 128 = -64$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$) и дискриминант отрицателен ($D < 0$), выражение $2x^2-8x+16$ положительно при любых значениях $x$.

Найдем общую ОДЗ, пересекая все условия: $x>1$, $x \ne 2$ и $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
Получаем: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Теперь решим основное уравнение:

$x^2+2x = 2x^2-8x+16$
$2x^2 - x^2 - 8x - 2x + 16 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при $x=2$ основание логарифма $x-1$ становится равным 1. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 8$ входит в ОДЗ, так как $8 \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Таким образом, решением уравнения является $x=8$.

Ответ: $8$.

б) $\log_{x-2}(2x^2-9x+21) = \log_{x-2}(x^2+x)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x^2-9x+21 = x^2+x, \\ x-2 > 0, \\ x-2 \ne 1, \\ x^2+x > 0. \end{cases} $

Решим условия, определяющие ОДЗ:

1. Условие на основание логарифма:
$x-2 > 0 \implies x > 2$
$x-2 \ne 1 \implies x \ne 3$

2. Условие на подлогарифмическое выражение:
$x^2+x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

3. Проверим второе подлогарифмическое выражение: $2x^2-9x+21 > 0$.
Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 81 - 168 = -87$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$) и $D < 0$, выражение $2x^2-9x+21$ всегда положительно.

Найдем общую ОДЗ, пересекая все условия: $x>2$, $x \ne 3$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.
Получаем: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Решим основное уравнение:

$2x^2-9x+21 = x^2+x$
$2x^2 - x^2 - 9x - x + 21 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 7$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как при $x=3$ основание логарифма $x-2$ равно 1. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 7$ входит в ОДЗ, так как $7 \in (2, 3) \cup (3, \infty)$.

Следовательно, решением уравнения является $x=7$.

Ответ: $7$.