Номер 9.37, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.37, страница 256.

Условие.

9.37 Докажите, что каждое из уравнений $\operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arctg} g(x)$ и $\operatorname{arcctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы доказать, что два уравнения равносильны, нужно показать, что множества их решений совпадают. Это значит, что любое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот. Рассмотрим оба случая, упомянутые в задаче.

$\arctg f(x) = \arctg g(x)$

Докажем, что уравнение $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Равносильность следует из ключевых свойств функции $y = \arctg(t)$:

1. Область определения. Функция $y = \arctg(t)$ определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения — $(-\infty, +\infty)$. Это означает, что область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ определяется только теми значениями $x$, для которых существуют (определены) оба выражения, $f(x)$ и $g(x)$. Эта же область является ОДЗ и для уравнения $f(x) = g(x)$. Поскольку ОДЗ у обоих уравнений совпадают, преобразования не приведут к потере или появлению корней из-за изменения области определения.

2. Взаимная однозначность (инъективность). Функция $y = \arctg(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Любая строго монотонная функция является взаимно однозначной. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Следовательно, равенство $\arctg(t_1) = \arctg(t_2)$ возможно тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$.

Из этих свойств следует, что:

• Если $x_0$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$, то $f(x_0) = g(x_0)$. Применив функцию $\arctg$ к обеим частям, получим верное равенство $\arctg(f(x_0)) = \arctg(g(x_0))$, так как функция однозначна. Значит, $x_0$ — решение первого уравнения.
• Если $x_0$ является решением уравнения $\arctg f(x) = \arctg g(x)$, то $\arctg(f(x_0)) = \arctg(g(x_0))$. В силу взаимной однозначности функции $\arctg$, из этого следует, что $f(x_0) = g(x_0)$. Значит, $x_0$ — решение второго уравнения.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, они равносильны.

Ответ: Уравнение $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

$\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$

Доказательство для этого случая полностью аналогично предыдущему и основывается на свойствах функции $y = \arcctg(t)$.

1. Область определения. Функция $y = \arcctg(t)$ также определена для всех действительных чисел $t \in (-\infty, +\infty)$. Следовательно, ОДЗ уравнений $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ и $f(x) = g(x)$ совпадают.

2. Взаимная однозначность (инъективность). Функция $y = \arcctg(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Как и любая строго монотонная функция, она является взаимно однозначной. Это означает, что равенство $\arcctg(t_1) = \arcctg(t_2)$ выполняется тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$.

Таким образом, переход от уравнения $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ и обратно является равносильным преобразованием на их общей области определения.

Следовательно, уравнения $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ и $f(x) = g(x)$ имеют одинаковые множества решений и являются равносильными.

Ответ: Уравнение $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.