Номер 9.37, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.37, страница 256.
№9.37 (с. 256)
Условие. №9.37 (с. 256)
скриншот условия

9.37 Докажите, что каждое из уравнений $\operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arctg} g(x)$ и $\operatorname{arcctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
Решение 1. №9.37 (с. 256)

Решение 2. №9.37 (с. 256)

Решение 4. №9.37 (с. 256)
Чтобы доказать, что два уравнения равносильны, нужно показать, что множества их решений совпадают. Это значит, что любое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот. Рассмотрим оба случая, упомянутые в задаче.
$\arctg f(x) = \arctg g(x)$
Докажем, что уравнение $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
Равносильность следует из ключевых свойств функции $y = \arctg(t)$:
1. Область определения. Функция $y = \arctg(t)$ определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения — $(-\infty, +\infty)$. Это означает, что область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ определяется только теми значениями $x$, для которых существуют (определены) оба выражения, $f(x)$ и $g(x)$. Эта же область является ОДЗ и для уравнения $f(x) = g(x)$. Поскольку ОДЗ у обоих уравнений совпадают, преобразования не приведут к потере или появлению корней из-за изменения области определения.
2. Взаимная однозначность (инъективность). Функция $y = \arctg(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Любая строго монотонная функция является взаимно однозначной. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Следовательно, равенство $\arctg(t_1) = \arctg(t_2)$ возможно тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$.
Из этих свойств следует, что:
- Если $x_0$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$, то $f(x_0) = g(x_0)$. Применив функцию $\arctg$ к обеим частям, получим верное равенство $\arctg(f(x_0)) = \arctg(g(x_0))$, так как функция однозначна. Значит, $x_0$ — решение первого уравнения.
- Если $x_0$ является решением уравнения $\arctg f(x) = \arctg g(x)$, то $\arctg(f(x_0)) = \arctg(g(x_0))$. В силу взаимной однозначности функции $\arctg$, из этого следует, что $f(x_0) = g(x_0)$. Значит, $x_0$ — решение второго уравнения.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, они равносильны.
Ответ: Уравнение $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
$\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$
Доказательство для этого случая полностью аналогично предыдущему и основывается на свойствах функции $y = \arcctg(t)$.
1. Область определения. Функция $y = \arcctg(t)$ также определена для всех действительных чисел $t \in (-\infty, +\infty)$. Следовательно, ОДЗ уравнений $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ и $f(x) = g(x)$ совпадают.
2. Взаимная однозначность (инъективность). Функция $y = \arcctg(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Как и любая строго монотонная функция, она является взаимно однозначной. Это означает, что равенство $\arcctg(t_1) = \arcctg(t_2)$ выполняется тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$.
Таким образом, переход от уравнения $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ и обратно является равносильным преобразованием на их общей области определения.
Следовательно, уравнения $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ и $f(x) = g(x)$ имеют одинаковые множества решений и являются равносильными.
Ответ: Уравнение $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.37 расположенного на странице 256 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.37 (с. 256), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.