Номер 9.30, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.30, страница 252.

Условие.

9.30* a) $\sqrt{2^x - 4} + \sqrt{2^x - 8} = \sqrt{2^{x+1} - 12}$;

б) $\sqrt{3^x - 9} + \sqrt{3^x - 3} = \sqrt{2 \cdot 3^x - 12}$;

в) $\sqrt{\log_5 x - 1} + \sqrt{2^x - 2} = \sqrt{\log_5 x + 2^x - 3}$;

г) $\sqrt{\log_6 x - 1} + \sqrt{3^x - 9} = \sqrt{\log_6 x + 3^x - 10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\sqrt{2^x - 4} + \sqrt{2^x - 8} = \sqrt{2^{x+1} - 12}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$2^x - 4 \ge 0 \implies 2^x \ge 4 \implies x \ge 2$.
$2^x - 8 \ge 0 \implies 2^x \ge 8 \implies x \ge 3$.
$2^{x+1} - 12 \ge 0 \implies 2 \cdot 2^x \ge 12 \implies 2^x \ge 6 \implies x \ge \log_2 6$.
Так как $2 < \log_2 6 < 3$, то пересечением этих условий является $x \ge 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.
Заметим, что правая часть уравнения является корнем из суммы подкоренных выражений левой части:
$(2^x - 4) + (2^x - 8) = 2 \cdot 2^x - 12 = 2^{x+1} - 12$.
Пусть $A = 2^x - 4$ и $B = 2^x - 8$. Тогда уравнение принимает вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$.
В ОДЗ все подкоренные выражения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = (\sqrt{A+B})^2$
$A + 2\sqrt{AB} + B = A+B$
$2\sqrt{AB} = 0 \implies AB = 0$.
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $A=0$ или $B=0$.
1) $2^x - 4 = 0 \implies 2^x = 4 \implies x = 2$. Этот корень не входит в ОДЗ.
2) $2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 8 \implies x = 3$. Этот корень входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=3$: $\sqrt{2^3-4} + \sqrt{2^3-8} = \sqrt{8-4} + \sqrt{8-8} = \sqrt{4} + 0 = 2$. Правая часть: $\sqrt{2^{3+1}-12} = \sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2$. Равенство верно.
Ответ: $3$.

б) $\sqrt{3^x - 9} + \sqrt{3^x - 3} = \sqrt{2 \cdot 3^x - 12}$
Найдем ОДЗ:
$3^x - 9 \ge 0 \implies 3^x \ge 9 \implies x \ge 2$.
$3^x - 3 \ge 0 \implies 3^x \ge 3 \implies x \ge 1$.
$2 \cdot 3^x - 12 \ge 0 \implies 3^x \ge 6 \implies x \ge \log_3 6$.
Так как $1 < \log_3 6 < 2$, то пересечением условий является $x \ge 2$. ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.
Заметим, что $(3^x - 9) + (3^x - 3) = 2 \cdot 3^x - 12$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$, где $A = 3^x - 9$ и $B = 3^x - 3$. Такое равенство, как показано в пункте а), эквивалентно условию $A=0$ или $B=0$.
1) $3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies x = 2$. Корень входит в ОДЗ.
2) $3^x - 3 = 0 \implies 3^x = 3 \implies x = 1$. Корень не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=2$: $\sqrt{3^2-9} + \sqrt{3^2-3} = \sqrt{0} + \sqrt{6} = \sqrt{6}$. Правая часть: $\sqrt{2 \cdot 3^2 - 12} = \sqrt{18-12} = \sqrt{6}$. Равенство верно.
Ответ: $2$.

в) $\sqrt{\log_5 x - 1} + \sqrt{2^x - 2} = \sqrt{\log_5 x + 2^x - 3}$
Найдем ОДЗ:
$x > 0$ (из определения логарифма).
$\log_5 x - 1 \ge 0 \implies \log_5 x \ge 1 \implies x \ge 5$.
$2^x - 2 \ge 0 \implies 2^x \ge 2 \implies x \ge 1$.
Пересечением всех условий является $x \ge 5$. ОДЗ: $x \in [5, +\infty)$. (Условие $\log_5 x + 2^x - 3 \ge 0$ также выполняется при $x \ge 5$).
Заметим, что $(\log_5 x - 1) + (2^x - 2) = \log_5 x + 2^x - 3$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$, что эквивалентно $A=0$ или $B=0$, где $A = \log_5 x - 1$ и $B = 2^x - 2$.
1) $\log_5 x - 1 = 0 \implies \log_5 x = 1 \implies x = 5$. Корень входит в ОДЗ.
2) $2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$. Корень не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=5$: $\sqrt{\log_5 5 - 1} + \sqrt{2^5 - 2} = \sqrt{1-1} + \sqrt{32-2} = 0 + \sqrt{30} = \sqrt{30}$. Правая часть: $\sqrt{\log_5 5 + 2^5 - 3} = \sqrt{1+32-3} = \sqrt{30}$. Равенство верно.
Ответ: $5$.

г) $\sqrt{\log_6 x - 1} + \sqrt{3^x - 9} = \sqrt{\log_6 x + 3^x - 10}$
Найдем ОДЗ:
$x > 0$ (из определения логарифма).
$\log_6 x - 1 \ge 0 \implies \log_6 x \ge 1 \implies x \ge 6$.
$3^x - 9 \ge 0 \implies 3^x \ge 9 \implies x \ge 2$.
Пересечением всех условий является $x \ge 6$. ОДЗ: $x \in [6, +\infty)$. (Условие $\log_6 x + 3^x - 10 \ge 0$ также выполняется при $x \ge 6$).
Заметим, что $(\log_6 x - 1) + (3^x - 9) = \log_6 x + 3^x - 10$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{A+B}$, что эквивалентно $A=0$ или $B=0$, где $A = \log_6 x - 1$ и $B = 3^x - 9$.
1) $\log_6 x - 1 = 0 \implies \log_6 x = 1 \implies x = 6$. Корень входит в ОДЗ.
2) $3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies x = 2$. Корень не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=6$: $\sqrt{\log_6 6 - 1} + \sqrt{3^6 - 9} = \sqrt{1-1} + \sqrt{729-9} = 0 + \sqrt{720} = \sqrt{720}$. Правая часть: $\sqrt{\log_6 6 + 3^6 - 10} = \sqrt{1+729-10} = \sqrt{720}$. Равенство верно.
Ответ: $6$.