Номер 9.22, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.22, страница 252.

Условие.

9.22 a) $\frac{2x^2 + x - 15}{\sqrt{4x^2 - 2x + 25}} = 0;$

б) $\frac{3x^2 - 10x - 8}{\sqrt{9x^2 + 12x + 4}} = 0;$

В) $\frac{2x^2 + 9x - 18}{\sqrt{4x^2 - 12x + 9}} = 0;$

Г) $\frac{3x^2 - 19x + 20}{\sqrt{9x^2 - 24x + 16}} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Данное уравнение $\frac{2x^2 + x - 15}{\sqrt{4x^2 - 2x + 25}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x^2 + x - 15 = 0, \\ 4x^2 - 2x + 25 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $2x^2 + x - 15 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$.

2. Проверим условие для знаменателя: $4x^2 - 2x + 25 > 0$.
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$).
Найдем дискриминант этого трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 4 - 400 = -396$.
Так как $D < 0$ и $a > 0$, выражение $4x^2 - 2x + 25$ всегда положительно при любом значении $x$.

Следовательно, оба корня, полученные из числителя, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -3; 2,5.

б)

Данное уравнение $\frac{3x^2 - 10x - 8}{\sqrt{9x^2 + 12x + 4}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 3x^2 - 10x - 8 = 0, \\ 9x^2 + 12x + 4 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $3x^2 - 10x - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.

2. Проверим условие для знаменателя: $9x^2 + 12x + 4 > 0$.
Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом: $9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2$.
Неравенство принимает вид $(3x + 2)^2 > 0$.
Квадрат любого выражения больше нуля, если само выражение не равно нулю. Найдем, когда выражение равно нулю: $3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) - все $x$, кроме $x = -\frac{2}{3}$.

Сравнивая корни числителя с ОДЗ, видим, что корень $x_1 = -\frac{2}{3}$ не входит в ОДЗ и является посторонним. Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию.

Ответ: 4.

в)

Данное уравнение $\frac{2x^2 + 9x - 18}{\sqrt{4x^2 - 12x + 9}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x^2 + 9x - 18 = 0, \\ 4x^2 - 12x + 9 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $2x^2 + 9x - 18 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$.

2. Проверим условие для знаменателя: $4x^2 - 12x + 9 > 0$.
Подкоренное выражение является полным квадратом: $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$.
Неравенство принимает вид $(2x - 3)^2 > 0$.
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $2x - 3 = 0$, то есть $x = \frac{3}{2} = 1,5$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1,5$.

Сравнивая корни числителя с ОДЗ, видим, что корень $x_2 = 1,5$ не входит в ОДЗ. Единственным решением является $x_1 = -6$.

Ответ: -6.

г)

Данное уравнение $\frac{3x^2 - 19x + 20}{\sqrt{9x^2 - 24x + 16}} = 0$ равносильно системе:
$ \begin{cases} 3x^2 - 19x + 20 = 0, \\ 9x^2 - 24x + 16 > 0. \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $3x^2 - 19x + 20 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 - 240 = 121 = 11^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

2. Проверим условие для знаменателя: $9x^2 - 24x + 16 > 0$.
Подкоренное выражение является полным квадратом: $9x^2 - 24x + 16 = (3x - 4)^2$.
Неравенство принимает вид $(3x - 4)^2 > 0$.
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $3x - 4 = 0$, то есть $x = \frac{4}{3}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{4}{3}$.

Сравнивая корни числителя с ОДЗ, видим, что корень $x_1 = \frac{4}{3}$ не входит в ОДЗ. Единственным решением является $x_2 = 5$.

Ответ: 5.