Номер 9.16, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.16, страница 251.

Условие.

Решите уравнение (9.16–9.23):

9.16 a) $(\sqrt{36x^2 + 7} - \sqrt{35x^2 + 16}) \sqrt{2} - x = 0$;

б) $(\sqrt{26x^2 + 1} - \sqrt{25x^2 + 17}) \sqrt{3} - x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим уравнение $(\sqrt{36x^2+7} - \sqrt{35x^2+16})\sqrt{2-x} = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом определены. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
1. $36x^2+7 \ge 0$. Это неравенство верно для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$ и $36x^2+7 \ge 7 > 0$.
2. $35x^2+16 \ge 0$. Это неравенство также верно для любого $x$, так как $35x^2+16 \ge 16 > 0$.
3. $2-x \ge 0$, откуда следует $x \le 2$.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, 2]$.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

Случай 1: $\sqrt{2-x} = 0$.
Возводим обе части в квадрат: $2-x = 0$, откуда $x=2$.
Корень $x=2$ входит в ОДЗ.

Случай 2: $\sqrt{36x^2+7} - \sqrt{35x^2+16} = 0$.
Перепишем уравнение в виде $\sqrt{36x^2+7} = \sqrt{35x^2+16}$.
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$36x^2+7 = 35x^2+16$
$36x^2 - 35x^2 = 16 - 7$
$x^2 = 9$
Отсюда получаем два значения: $x = 3$ и $x = -3$.

Проверим эти значения по ОДЗ ($x \le 2$):
$x=3$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому это посторонний корень.
$x=-3$ удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому это корень уравнения.

Объединяя корни из обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $-3; 2$.

б) Решим уравнение $(\sqrt{26x^2+1} - \sqrt{25x^2+17})\sqrt{3-x} = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
1. $26x^2+1 \ge 0$. Верно для любого $x$, так как $26x^2+1 \ge 1 > 0$.
2. $25x^2+17 \ge 0$. Верно для любого $x$, так как $25x^2+17 \ge 17 > 0$.
3. $3-x \ge 0$, откуда следует $x \le 3$.
ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, 3]$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sqrt{3-x} = 0$.
Возводим в квадрат: $3-x = 0$, откуда $x=3$.
Корень $x=3$ принадлежит ОДЗ.

Случай 2: $\sqrt{26x^2+1} - \sqrt{25x^2+17} = 0$.
Перепишем как $\sqrt{26x^2+1} = \sqrt{25x^2+17}$.
Возводим в квадрат обе части:
$26x^2+1 = 25x^2+17$
$26x^2 - 25x^2 = 17 - 1$
$x^2 = 16$
Получаем два значения: $x = 4$ и $x = -4$.

Проверим найденные значения по ОДЗ ($x \le 3$):
$x=4$ не удовлетворяет условию $x \le 3$, это посторонний корень.
$x=-4$ удовлетворяет условию $x \le 3$, это корень уравнения.

Собираем все найденные корни.

Ответ: $-4; 3$.