Номер 9.9, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.9, страница 246.

Условие.

Решите уравнение (9.9–9.14):

9.9 а) $ \sqrt{2x+1} = x-1; $

б) $ \sqrt{2x-1} = x-2; $

в) $ \sqrt{147-2x} = x-2; $

г) $ \sqrt{-8x+108} = x-3. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x+1} = x-1$.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, которой равен арифметический квадратный корень, также должна быть неотрицательной. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} 2x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x \ge 1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 1$. Это и есть ОДЗ нашего уравнения.
Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(\sqrt{2x+1})^2 = (x-1)^2$
$2x+1 = x^2 - 2x + 1$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 2x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 4x = 0$
Решим это неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-4) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Сравним полученные корни с ОДЗ ($x \ge 1$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, это потенциальное решение.
Выполним проверку, подставив $x=4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$
$4-1 = 3$
Так как $3 = 3$, равенство верное.
Ответ: $4$

б) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x-1} = x-2$.
Найдем ОДЗ. Условия:
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$
$2x-1 = x^2 - 4x + 4$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $5$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 2$):
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, является посторонним.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Проверим корень $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{2(5)-1} = \sqrt{9} = 3$
$5-2 = 3$
Равенство $3 = 3$ верное.
Ответ: $5$

в) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{147-2x} = x-2$.
Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} 147-2x \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 147 \ge 2x \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 73.5 \\ x \ge 2 \end{cases}$
ОДЗ: $2 \le x \le 73.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{147-2x})^2 = (x-2)^2$
$147-2x = x^2 - 4x + 4$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 4x + 2x + 4 - 147 = 0$
$x^2 - 2x - 143 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-143) = 4 + 572 = 576 = 24^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 24}{2}$
$x_1 = \frac{2-24}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
$x_2 = \frac{2+24}{2} = \frac{26}{2} = 13$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($2 \le x \le 73.5$):
Корень $x_1 = -11$ не входит в ОДЗ, так как $-11 < 2$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 13$ входит в ОДЗ, так как $2 \le 13 \le 73.5$.
Проверка для $x=13$:
$\sqrt{147-2(13)} = \sqrt{147-26} = \sqrt{121} = 11$
$13-2 = 11$
Равенство $11 = 11$ верное.
Ответ: $13$

г) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{-8x+108} = x-3$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -8x+108 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 108 \ge 8x \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 13.5 \\ x \ge 3 \end{cases}$
ОДЗ: $3 \le x \le 13.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{-8x+108})^2 = (x-3)^2$
$-8x+108 = x^2 - 6x + 9$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 6x + 8x + 9 - 108 = 0$
$x^2 + 2x - 99 = 0$
Решим по теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-99$. Корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -11$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($3 \le x \le 13.5$):
Корень $x_2 = -11$ не входит в ОДЗ, так как $-11 < 3$. Это посторонний корень.
Корень $x_1 = 9$ входит в ОДЗ, так как $3 \le 9 \le 13.5$.
Проверка для $x=9$:
$\sqrt{-8(9)+108} = \sqrt{-72+108} = \sqrt{36} = 6$
$9-3 = 6$
Равенство $6 = 6$ верное.
Ответ: $9$