Номер 9.7, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.7, страница 243.

Условие.

9.7 Равносильно ли уравнение $|x+2| = 2x+3$ совокупности систем

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+2 = 2x+3 \end{cases} \\ \begin{cases} x+2 < 0 \\ -x-2 = 2x+3 \end{cases} \end{gathered} \right.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы ответить на вопрос, равносильно ли уравнение $|x+2| = 2x+3$ указанной совокупности систем, необходимо найти и сравнить их множества решений. Два уравнения (или системы) называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Сначала найдем решение исходного уравнения $|x+2| = 2x+3$.

Метод решения уравнения вида $|f(x)| = g(x)$ заключается в том, что оно равносильно системе, в которой учитывается неотрицательность правой части, так как модуль не может быть отрицательным числом:

$$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{gathered} \right. \end{cases} $$

Применительно к нашему случаю, сначала накладываем условие на правую часть:

$2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$

Теперь решаем два уравнения, которые получаются при раскрытии модуля, и проверяем найденные корни на соответствие этому условию.

1. $x + 2 = 2x + 3$

$2 - 3 = 2x - x$

$x = -1$

Этот корень удовлетворяет условию $x \ge -1.5$, так как $-1 > -1.5$. Следовательно, $x = -1$ является решением.

2. $x + 2 = -(2x + 3)$

$x + 2 = -2x - 3$

$3x = -5$

$x = -\frac{5}{3}$

Проверим этот корень. $x = -\frac{5}{3} \approx -1.67$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge -1.5$, так как $-1.67 < -1.5$. Следовательно, $x = -\frac{5}{3}$ является посторонним корнем.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение: $x = -1$.

Теперь решим совокупность систем, предложенную в задаче.

$$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x + 2 = 2x + 3 \end{cases} \\ \begin{cases} x + 2 < 0 \\ -x - 2 = 2x + 3 \end{cases} \end{gathered} \right. $$

Этот метод основан на раскрытии модуля по его определению. Решим каждую систему отдельно.

Первая система:

$$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x = -1 \end{cases} $$

Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -2$, поэтому $x = -1$ является решением этой системы.

Вторая система:

$$ \begin{cases} x < -2 \\ -5 = 3x \implies x = -\frac{5}{3} \end{cases} $$

Значение $x = -\frac{5}{3}$ не удовлетворяет условию $x < -2$ (поскольку $-\frac{5}{3} > -2$). Следовательно, вторая система решений не имеет.

Решением совокупности систем является объединение решений всех систем, входящих в нее. В данном случае это только решение первой системы, то есть $x = -1$.

Итак, множество решений исходного уравнения $|x+2| = 2x+3$ есть $\{-1\}$, и множество решений данной совокупности систем также есть $\{-1\}$. Поскольку множества решений совпадают, уравнение и совокупность систем равносильны.

Важно отметить, что сам переход от уравнения с модулем к совокупности систем, основанный на определении модуля, является равносильным преобразованием. Следовательно, можно было сделать вывод о равносильности, не проводя вычислений.

Ответ: Да, данное уравнение равносильно указанной совокупности систем.