Номер 9.5, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.5, страница 243.

Условие.

9.5 Запишите совокупность уравнений, равносильную уравнению:

а) $|x|=5$;

б) $|x|=4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Уравнение вида $|x| = a$, где $a \ge 0$, равносильно совокупности уравнений. Это означает, что решение исходного уравнения является объединением решений уравнений из совокупности.

По определению, модуль числа $x$ — это расстояние от точки с координатой $x$ до начала отсчета (точки 0) на числовой прямой. Если это расстояние равно $a$, то сама точка $x$ может быть либо $a$, либо $-a$. Таким образом, уравнение $|x| = a$ можно заменить на совокупность двух уравнений: $x = a$ и $x = -a$. Совокупность уравнений принято обозначать квадратной скобкой.

а)

Рассмотрим уравнение $|x| = 5$. Оно означает, что расстояние от $x$ до 0 равно 5. Это верно для двух значений $x$: 5 и -5. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$$ \left[ \begin{array}{l} x = 5, \\ x = -5. \end{array} \right.$$

Ответ: $\left[ \begin{array}{l} x = 5, \\ x = -5. \end{array} \right.$

б)

Рассмотрим уравнение $|x| = 4$. Оно означает, что расстояние от $x$ до 0 равно 4. Это верно для двух значений $x$: 4 и -4. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$$ \left[ \begin{array}{l} x = 4, \\ x = -4. \end{array} \right.$$

Ответ: $\left[ \begin{array}{l} x = 4, \\ x = -4. \end{array} \right.$