Номер 9.11, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.11, страница 246.

Условие.

9.11 a) $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4}$;

б) $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых подкоренные выражения неотрицательны:

$ \begin{cases} x^3 - 5x^2 + 7x - 17 \ge 0 \\ x^3 - 4x^2 - 3x + 4 \ge 0 \end{cases} $

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат. Это преобразование является равносильным при условии, что найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

$( \sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} )^2 = ( \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4} )^2$

$x^3 - 5x^2 + 7x - 17 = x^3 - 4x^2 - 3x + 4$

Сократим члены $x^3$ и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-5x^2 + 7x - 17 + 4x^2 + 3x - 4 = 0$

$-x^2 + 10x - 21 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $10$, а их произведение равно $21$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Теперь выполним проверку найденных корней на принадлежность ОДЗ. Так как в решении уравнения подкоренные выражения приравниваются, достаточно проверить только одно из неравенств ОДЗ, например $x^3 - 4x^2 - 3x + 4 \ge 0$.

Проверка для $x_1 = 3$:

$3^3 - 4(3^2) - 3(3) + 4 = 27 - 4 \cdot 9 - 9 + 4 = 27 - 36 - 9 + 4 = -14$.

Так как $-14 < 0$, корень $x=3$ является посторонним и не является решением исходного уравнения.

Проверка для $x_2 = 7$:

$7^3 - 4(7^2) - 3(7) + 4 = 343 - 4 \cdot 49 - 21 + 4 = 343 - 196 - 21 + 4 = 130$.

Так как $130 > 0$, корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ и является решением уравнения.

Ответ: $7$.

б) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} x^3 - 8x^2 - 7x + 2 \ge 0 \\ x^3 - 7x^2 - 18x + 20 \ge 0 \end{cases} $

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$( \sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} )^2 = ( \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20} )^2$

$x^3 - 8x^2 - 7x + 2 = x^3 - 7x^2 - 18x + 20$

Сократим $x^3$ и приведем подобные слагаемые:

$-8x^2 - 7x + 2 + 7x^2 + 18x - 20 = 0$

$-x^2 + 11x - 18 = 0$

Умножим на $-1$:

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а произведение $18$. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ, подставив их в одно из подкоренных выражений, например, в $x^3 - 7x^2 - 18x + 20$. Оно должно быть неотрицательным.

Проверка для $x_1 = 2$:

$2^3 - 7(2^2) - 18(2) + 20 = 8 - 7 \cdot 4 - 36 + 20 = 8 - 28 - 36 + 20 = -36$.

Так как $-36 < 0$, корень $x=2$ является посторонним.

Проверка для $x_2 = 9$:

$9^3 - 7(9^2) - 18(9) + 20 = 729 - 7 \cdot 81 - 162 + 20 = 729 - 567 - 162 + 20 = 162 - 162 + 20 = 20$.

Так как $20 > 0$, корень $x=9$ является решением уравнения.

Ответ: $9$.