Номер 9.12, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.12, страница 246.

Условие.

9.12 a) $\sqrt{\log_3 x + 1} = \sqrt{\log^2_3 x - 5};$

Б) $\sqrt{2\log_4 x} = \sqrt{\log^2_4 x - 8};$

В) $\sqrt{1 - 4\log_{\frac{1}{2}} x} = \sqrt{6 - \log^2_{\frac{1}{2}} x};$

Г) $\sqrt{2 - \log_{\frac{1}{3}} x} = \sqrt{\log^2_{\frac{1}{3}} x - 4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{\log_3 x + 1} = \sqrt{\log_3^2 x - 5}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а аргумент логарифма — положительным:

$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x + 1 \ge 0 \\ \log_3^2 x - 5 \ge 0 \end{cases} $

Введем замену $t = \log_3 x$. Система неравенств для $t$ примет вид:

$ \begin{cases} t \ge -1 \\ t^2 \ge 5 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge -1 \\ t \ge \sqrt{5} \text{ или } t \le -\sqrt{5} \end{cases} $

Пересечением этих условий является $t \ge \sqrt{5}$. Таким образом, ОДЗ: $\log_3 x \ge \sqrt{5}$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$\log_3 x + 1 = \log_3^2 x - 5$

С заменой $t = \log_3 x$ получаем:

$t + 1 = t^2 - 5$

$t^2 - t - 6 = 0$

Находим корни квадратного уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$.

3. Проверим найденные значения $t$ на соответствие ОДЗ ($t \ge \sqrt{5}$):

• $t_1 = 3$. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то $t_1=3$ удовлетворяет ОДЗ.
• $t_2 = -2$. Значение не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 < \sqrt{5}$.

4. Находим $x$ для подходящего корня $t=3$:

$\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

Ответ: $x=27$.

б)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2\log_4 x} = \sqrt{\log_4^2 x - 8}$.

1. Найдем ОДЗ. Выражения под корнем должны быть неотрицательны, аргумент логарифма — положителен.

$ \begin{cases} x > 0 \\ 2\log_4 x \ge 0 \\ \log_4^2 x - 8 \ge 0 \end{cases} $

Введем замену $t = \log_4 x$:

$ \begin{cases} 2t \ge 0 \implies t \ge 0 \\ t^2 \ge 8 \implies |t| \ge \sqrt{8} \implies |t| \ge 2\sqrt{2} \end{cases} $

Совмещая условия, получаем $t \ge 2\sqrt{2}$. Таким образом, ОДЗ: $\log_4 x \ge 2\sqrt{2}$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$2\log_4 x = \log_4^2 x - 8$

С заменой $t = \log_4 x$ получаем:

$2t = t^2 - 8$

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Находим корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -2$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($t \ge 2\sqrt{2}$):

• $t_1 = 4$. Так как $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{16} > \sqrt{8}$, то $4 > 2\sqrt{2}$. Корень подходит.
• $t_2 = -2$. Не удовлетворяет условию $t \ge 2\sqrt{2}$.

4. Находим $x$ для подходящего корня $t=4$:

$\log_4 x = 4 \implies x = 4^4 = 256$.

Ответ: $x=256$.

в)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{1 - 4\log_{\frac{1}{2}} x} = \sqrt{6 - \log_{\frac{1}{2}}^2 x}$.

1. Найдем ОДЗ. Введем замену $t = \log_{\frac{1}{2}} x$.

$ \begin{cases} x > 0 \\ 1 - 4t \ge 0 \implies 4t \le 1 \implies t \le \frac{1}{4} \\ 6 - t^2 \ge 0 \implies t^2 \le 6 \implies |t| \le \sqrt{6} \end{cases} $

Условие $|t| \le \sqrt{6}$ эквивалентно $-\sqrt{6} \le t \le \sqrt{6}$.

Пересечение условий $t \le \frac{1}{4}$ и $-\sqrt{6} \le t \le \sqrt{6}$ дает ОДЗ для $t$: $-\sqrt{6} \le t \le \frac{1}{4}$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$1 - 4\log_{\frac{1}{2}} x = 6 - \log_{\frac{1}{2}}^2 x$

С заменой $t = \log_{\frac{1}{2}} x$ получаем:

$1 - 4t = 6 - t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Находим корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -1$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-\sqrt{6} \le t \le \frac{1}{4}$):

• $t_1 = 5$. Не удовлетворяет условию $t \le \frac{1}{4}$.
• $t_2 = -1$. Удовлетворяет, так как $-\sqrt{6} \approx -2.45$, и $-\sqrt{6} \le -1 \le \frac{1}{4}$. Корень подходит.

4. Находим $x$ для подходящего корня $t=-1$:

$\log_{\frac{1}{2}} x = -1 \implies x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

Ответ: $x=2$.

г)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2 - \log_{\frac{1}{3}} x} = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}^2 x - 4}$.

1. Найдем ОДЗ. Введем замену $t = \log_{\frac{1}{3}} x$.

$ \begin{cases} x > 0 \\ 2 - t \ge 0 \implies t \le 2 \\ t^2 - 4 \ge 0 \implies t^2 \ge 4 \implies |t| \ge 2 \end{cases} $

Условие $|t| \ge 2$ эквивалентно $t \ge 2$ или $t \le -2$.

Совмещая с условием $t \le 2$, получаем:

• $t \ge 2$ и $t \le 2 \implies t=2$.
• $t \le -2$ и $t \le 2 \implies t \le -2$.

Таким образом, ОДЗ для $t$: $t \le -2$ или $t=2$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$2 - \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}^2 x - 4$

С заменой $t = \log_{\frac{1}{3}} x$ получаем:

$2 - t = t^2 - 4$

$t^2 + t - 6 = 0$

Находим корни: $t_1 = -3$, $t_2 = 2$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($t \le -2$ или $t=2$):

• $t_1 = -3$. Удовлетворяет условию $t \le -2$. Корень подходит.
• $t_2 = 2$. Удовлетворяет условию $t=2$. Корень подходит.

4. Находим $x$ для обоих подходящих корней:

При $t = -3$: $\log_{\frac{1}{3}} x = -3 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$.

При $t = 2$: $\log_{\frac{1}{3}} x = 2 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{9}, x_2 = 27$.