Номер 9.2, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.2, страница 243.

Условие.

9.2 а) В каком случае говорят, что две системы равносильны?

б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно системе?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любое решение первой системы является решением второй системы, и, в свою очередь, любое решение второй системы является решением первой. Если обе системы не имеют решений (то есть множество решений каждой из них пусто), то они также считаются равносильными.
Формально, пусть даны две системы, $S_1$ и $S_2$. Обозначим их множества решений как $M_1$ и $M_2$ соответственно. Системы $S_1$ и $S_2$ являются равносильными тогда и только тогда, когда выполняется равенство множеств: $M_1 = M_2$.
Ответ: Две системы называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

б) Уравнение (или неравенство) называют равносильным системе, если множество решений этого уравнения (неравенства) совпадает с множеством решений данной системы.
Напомним, что решением системы является такой набор значений переменных, который удовлетворяет каждому уравнению или неравенству, входящему в систему. Таким образом, множество решений системы есть пересечение множеств решений всех её составляющих.
Следовательно, для того чтобы уравнение (или неравенство) было равносильно системе, необходимо, чтобы любое решение уравнения (неравенства) являлось решением системы, и наоборот, любое решение системы являлось решением исходного уравнения (неравенства).
Формально, пусть дано уравнение (или неравенство) $U$ с множеством решений $M_U$ и система $S$ с множеством решений $M_S$. Уравнение (неравенство) $U$ равносильно системе $S$ в том и только в том случае, если $M_U = M_S$.
Ответ: Уравнение (неравенство) называют равносильным системе, если множество решений уравнения (неравенства) совпадает с множеством решений системы.