Номер 8.37, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.37, страница 239.

Условие.

8.37 а) $\sqrt{x - 5\sqrt{x} - 6} = \sqrt{x - 2};$

б) $\sqrt{x - 3\sqrt{x} - 7} = \sqrt{x + 3};$

в) $\frac{\sqrt{7x - 21}}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{5x - 17}}{2};$

г) $\frac{\sqrt{3x - 7}}{\sqrt{x + 3}} = \sqrt{3 - 4x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $\sqrt{x-5\sqrt{x}-6} = \sqrt{x-2}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:
1) $x \ge 0$ (из-за наличия $\sqrt{x}$)
2) $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
3) $x-5\sqrt{x}-6 \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Получим квадратное неравенство $t^2 - 5t - 6 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $t^2 - 5t - 6 = 0$ по теореме Виета равны $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $t \le -1$ или $t \ge 6$. Учитывая, что $t = \sqrt{x} \ge 0$, нам подходит только условие $t \ge 6$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $\sqrt{x} \ge 6$, что означает $x \ge 36$.
Объединяя все условия ($x \ge 2$ и $x \ge 36$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 36$.

Теперь решим само уравнение. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{x-5\sqrt{x}-6})^2 = (\sqrt{x-2})^2$
$x-5\sqrt{x}-6 = x-2$
Перенесем $x$ в одну сторону:
$-5\sqrt{x}-6 = -2$
$-5\sqrt{x} = 4$
$\sqrt{x} = -\frac{4}{5}$
Данное уравнение не имеет действительных решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) Решим уравнение $\sqrt{x-3\sqrt{x}-7} = \sqrt{x+3}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1) $x \ge 0$
2) $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
3) $x-3\sqrt{x}-7 \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$). Получаем неравенство $t^2 - 3t - 7 \ge 0$. Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 7 = 0$ через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(-7) = 9 + 28 = 37$. Корни: $t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{37}}{2}$. Так как $t=\sqrt{x} \ge 0$, нас интересует только положительный корень и области вне корней. Неравенство $t^2 - 3t - 7 \ge 0$ выполняется при $t \ge \frac{3+\sqrt{37}}{2}$ (так как $t \ge 0$). Значит $\sqrt{x} \ge \frac{3+\sqrt{37}}{2}$, откуда $x \ge \left(\frac{3+\sqrt{37}}{2}\right)^2 = \frac{9+6\sqrt{37}+37}{4} = \frac{46+6\sqrt{37}}{4} = \frac{23+3\sqrt{37}}{2}$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{23+3\sqrt{37}}{2}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-3\sqrt{x}-7})^2 = (\sqrt{x+3})^2$
$x-3\sqrt{x}-7 = x+3$
$-3\sqrt{x} = 3+7$
$-3\sqrt{x} = 10$
$\sqrt{x} = -\frac{10}{3}$
Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.
Ответ: решений нет.

в) Решим уравнение $\frac{\sqrt{7x-21}}{\sqrt{x+2}} = \frac{\sqrt{5x-17}}{2}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1) $7x-21 \ge 0 \implies 7x \ge 21 \implies x \ge 3$
2) $x+2 > 0 \implies x > -2$ (знаменатель не может быть равен нулю)
3) $5x-17 \ge 0 \implies 5x \ge 17 \implies x \ge \frac{17}{5} \implies x \ge 3.4$
Пересечение всех условий ($x \ge 3$, $x > -2$, $x \ge 3.4$) дает нам ОДЗ: $x \ge 3.4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:
$\frac{7x-21}{x+2} = \frac{5x-17}{4}$
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$4(7x-21) = (x+2)(5x-17)$
$28x - 84 = 5x^2 - 17x + 10x - 34$
$28x - 84 = 5x^2 - 7x - 34$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$5x^2 - 7x - 28x - 34 + 84 = 0$
$5x^2 - 35x + 50 = 0$
Разделим обе части на 5 для упрощения:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3.4$):
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $2 < 3.4$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 \ge 3.4$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 5.

г) Решим уравнение $\frac{\sqrt{3x-7}}{\sqrt{x+3}} = \sqrt{3-4x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых все выражения под корнем неотрицательны, а знаменатель не равен нулю.
1) $3x-7 \ge 0 \implies 3x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{3}$
2) $x+3 > 0 \implies x > -3$
3) $3-4x \ge 0 \implies 3 \ge 4x \implies x \le \frac{3}{4}$
Для существования решения необходимо, чтобы все три условия выполнялись одновременно. Найдем пересечение полученных множеств:
$x \ge \frac{7}{3}$ и $x \le \frac{3}{4}$.
Так как $\frac{7}{3} \approx 2.67$, а $\frac{3}{4} = 0.75$, то неравенство $\frac{7}{3} \le x \le \frac{3}{4}$ не может выполняться ни для какого действительного числа $x$, поскольку $\frac{7}{3} > \frac{3}{4}$.
Область допустимых значений является пустым множеством. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.