Номер 8.38, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.38, страница 239.

Условие.

8.38* а) $lg 2x - lg (x + 4) = lg 0,4;$

б) $lg(x - 4) + lg(x - 6) = lg 8;$

В) $lg(x + 5) + lg(x - 4) = lg(x + 16);$

Г) $lg(x - 3) + lg(x + 4) = lg(7x - 20).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $lg 2x - lg(x + 4) = lg 0,4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -4 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Используем свойство разности логарифмов $lg a - lg b = lg(a/b)$:
$lg \frac{2x}{x + 4} = lg 0,4$

3. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$\frac{2x}{x + 4} = 0,4$

4. Решаем полученное уравнение:
$2x = 0,4(x + 4)$
$2x = 0,4x + 1,6$
$2x - 0,4x = 1,6$
$1,6x = 1,6$
$x = 1$

5. Проверяем, принадлежит ли корень ОДЗ. $1 > 0$, следовательно, корень подходит.
Ответ: 1

б) $lg(x - 4) + lg(x - 6) = lg 8$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x - 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x > 6 \end{cases} \Rightarrow x > 6$.
ОДЗ: $x \in (6, +\infty)$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $lg a + lg b = lg(ab)$:
$lg((x - 4)(x - 6)) = lg 8$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x - 4)(x - 6) = 8$

4. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 4x + 24 = 8$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

5. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 6$):
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 6$, это посторонний корень.
$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 6$.
Ответ: 8

в) $lg(x + 5) + lg(x - 4) = lg(x + 16)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 5 > 0 \\ x - 4 > 0 \\ x + 16 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -5 \\ x > 4 \\ x > -16 \end{cases} \Rightarrow x > 4$.
ОДЗ: $x \in (4, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов:
$lg((x + 5)(x - 4)) = lg(x + 16)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x + 5)(x - 4) = x + 16$

4. Решаем полученное уравнение:
$x^2 - 4x + 5x - 20 = x + 16$
$x^2 + x - 20 = x + 16$
$x^2 = 36$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

5. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 4$):
$x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 > 4$.
$x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $-6 > 4$, это посторонний корень.
Ответ: 6

г) $lg(x - 3) + lg(x + 4) = lg(7x - 20)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 4 > 0 \\ 7x - 20 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > -4 \\ x > 20/7 \end{cases} \Rightarrow x > 3$.
(Так как $20/7 \approx 2,86$, то самое строгое условие — $x>3$).
ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения:
$lg((x - 3)(x + 4)) = lg(7x - 20)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x - 3)(x + 4) = 7x - 20$

4. Решаем полученное уравнение:
$x^2 + 4x - 3x - 12 = 7x - 20$
$x^2 + x - 12 = 7x - 20$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

5. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 3$, это посторонний корень.
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.
Ответ: 4