Номер 8.35, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.35, страница 239.

Условие.

8.35 а) $\sqrt{\frac{x-1}{x-2}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} + \sqrt{x}$;

б) $\sqrt{\frac{x+3}{x-3}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} + \sqrt{x}$;

В) $\sqrt{\frac{x+1}{x-3}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4}$;

Г) $\sqrt{\frac{x-3}{x+2}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} + \sqrt{x} $.

Первым шагом упростим уравнение. Поскольку слагаемое $ \sqrt{x} $ присутствует в обеих частях уравнения, мы можем его сократить:

$ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} $

Далее определим область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными, а знаменатели дробей не равнялись нулю.

1. Из слагаемого $ \sqrt{x} $ следует, что $ x \ge 0 $.

2. Из левой части $ \frac{x-1}{x-2} \ge 0 $. Решая методом интервалов, получаем $ x \in (-\infty, 1] \cup (2, +\infty) $.

3. Из правой части $ \frac{2x-2}{x-6} \ge 0 $, что эквивалентно $ \frac{2(x-1)}{x-6} \ge 0 $. Решая методом интервалов, получаем $ x \in (-\infty, 1] \cup (6, +\infty) $.

Объединяя все условия, находим общую ОДЗ: $ x \in ([0, +\infty) \cap ((-\infty, 1] \cup (2, +\infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup (6, +\infty))) $, что дает нам $ x \in [0, 1] \cup (6, +\infty) $.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$ \frac{x-1}{x-2} = \frac{2(x-1)}{x-6} $

Мы видим, что уравнение обращается в верное равенство $ 0 = 0 $, если числитель $ x-1=0 $, то есть $ x=1 $. Этот корень принадлежит ОДЗ, так как $ 1 \in [0, 1] $.

Рассмотрим случай, когда $ x \ne 1 $. Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $ (x-1) $:

$ \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x-6} $

По свойству пропорции (перекрестное умножение):

$ 1 \cdot (x-6) = 2 \cdot (x-2) $

$ x-6 = 2x-4 $

$ x - 2x = -4 + 6 $

$ -x = 2 \implies x = -2 $

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x=-2 $ нашей ОДЗ. Так как $ -2 \notin [0, 1] \cup (6, +\infty) $, этот корень является посторонним.

Единственным решением уравнения является $ x=1 $.

Ответ: $ x=1 $.

б)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} + \sqrt{x} $.

Сократим $ \sqrt{x} $ в обеих частях:

$ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} $

Найдем ОДЗ:

1. $ x \ge 0 $.

2. $ \frac{x+3}{x-3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -3] \cup (3, +\infty) $.

3. $ \frac{2x-6}{x-4} = \frac{2(x-3)}{x-4} \ge 0 \implies x \in (-\infty, 3] \cup (4, +\infty) $.

Также знаменатели не равны нулю: $ x \ne 3 $ и $ x \ne 4 $.

Пересечение всех условий: $ x \ge 0 $, $ x \in (-\infty, -3] \cup (3, +\infty) $, $ x \in (-\infty, 3] \cup (4, +\infty) $. Это дает нам ОДЗ: $ x \in (4, +\infty) $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{x+3}{x-3} = \frac{2(x-3)}{x-4} $

Выполним перекрестное умножение:

$ (x+3)(x-4) = 2(x-3)^2 $

$ x^2 - 4x + 3x - 12 = 2(x^2 - 6x + 9) $

$ x^2 - x - 12 = 2x^2 - 12x + 18 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 12x + x + 18 + 12 = 0 $

$ x^2 - 11x + 30 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Корнями являются $ x_1=5 $ и $ x_2=6 $.

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ $ x \in (4, +\infty) $.
Корень $ x=5 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 5 > 4 $.
Корень $ x=6 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 6 > 4 $.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $ x=5; x=6 $.

в)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x+1}{x-3}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $.

Сократим $ 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $ в обеих частях:

$ \sqrt{\frac{x+1}{x-3}} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} $

Найдем ОДЗ:

1. $ \frac{x+1}{x-3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup (3, +\infty) $.

2. $ \frac{x+4}{3x-8} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup (8/3, +\infty) $.

3. Аргумент тангенса не должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{\pi x}{4} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{x}{4} \ne \frac{1}{2} + k \implies x \ne 2 + 4k, k \in \mathbb{Z} $.

Пересечение условий для подкоренных выражений: $ ((-\infty, -1] \cup (3, +\infty)) \cap ((-\infty, -4] \cup (8/3, +\infty)) $ дает $ x \in (-\infty, -4] \cup (3, +\infty) $.
Исключаем значения $ x = 2+4k $. Ни одно из этих значений не попадает в граничные точки интервалов ОДЗ.

Итак, ОДЗ: $ x \in ((-\infty, -4] \cup (3, +\infty)) \setminus \{2+4k | k \in \mathbb{Z}\} $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{x+1}{x-3} = \frac{x+4}{3x-8} $

Выполним перекрестное умножение:

$ (x+1)(3x-8) = (x+4)(x-3) $

$ 3x^2 - 8x + 3x - 8 = x^2 - 3x + 4x - 12 $

$ 3x^2 - 5x - 8 = x^2 + x - 12 $

$ 2x^2 - 6x + 4 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 - 3x + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1=1 $ и $ x_2=2 $.

Проверим корни по ОДЗ: $ x \in (-\infty, -4] \cup (3, +\infty) $.
Корень $ x=1 $ не входит в ОДЗ.
Корень $ x=2 $ не входит в ОДЗ (а также исключен условием для тангенса при $ k=0 $).

Поскольку ни один из найденных корней не удовлетворяет ОДЗ, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

г)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $.

Сократим $ -\operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $ в обеих частях:

$ \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} $

Найдем ОДЗ:

1. $ \frac{x-3}{x+2} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup [3, +\infty) $.

2. $ \frac{x-3}{2x+3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -3/2) \cup [3, +\infty) $.

3. Условие для тангенса: $ x \ne 2 + 4k, k \in \mathbb{Z} $.

Пересечение условий для подкоренных выражений: $ ((-\infty, -2) \cup [3, +\infty)) \cap ((-\infty, -3/2) \cup [3, +\infty)) $ дает $ x \in (-\infty, -2) \cup [3, +\infty) $.
Исключаем значения $ x = 2+4k $.

ОДЗ: $ x \in ((-\infty, -2) \cup [3, +\infty)) \setminus \{2+4k | k \in \mathbb{Z}\} $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{x-3}{x+2} = \frac{x-3}{2x+3} $

Одно из решений — когда числитель равен нулю: $ x-3=0 \implies x=3 $. Проверим этот корень по ОДЗ. $ x=3 $ принадлежит интервалу $ [3, +\infty) $. Также проверим условие тангенса: $ 3 \ne 2+4k $ (так как $ 1=4k $ дает $ k=1/4 $, что не целое). Следовательно, $ x=3 $ является решением.

Рассмотрим случай, когда $ x \ne 3 $. Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $ (x-3) $:

$ \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2x+3} $

Отсюда следует, что знаменатели равны:

$ x+2 = 2x+3 $

$ x - 2x = 3 - 2 $

$ -x = 1 \implies x = -1 $

Проверим корень $ x=-1 $ по ОДЗ. $ x=-1 $ не принадлежит области $ (-\infty, -2) \cup [3, +\infty) $, поэтому это посторонний корень.

Единственным решением является $ x=3 $.

Ответ: $ x=3 $.