Номер 8.34, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.34, страница 239.
№8.34 (с. 239)
Условие. №8.34 (с. 239)
скриншот условия

8.34 a) $\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x} = 2 + \log_2 x$;
б) $\log_2 \frac{12}{-3-x} = \log_2 (1-x)$;
в) $\log_{\frac{1}{3}}(x^4 - 17x^2 + \log_2 x) = \log_{\frac{1}{3}}(19x^2 + \log_2 x)$;
г) $\log_3 (x^2 - \sqrt{x^2 - 4 + 1}) = \log_3 (x^3 - \sqrt{x^2 - 4 - 6x + 1})$.
Решение 1. №8.34 (с. 239)




Решение 2. №8.34 (с. 239)


Решение 4. №8.34 (с. 239)
а)
Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x} = 2 + \log_2 x$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. Во-вторых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x^2 + 3 + \log_2 x \ge 0$. В-третьих, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2 + \log_2 x \ge 0$.
Решим неравенство $2 + \log_2 x \ge 0$:
$\log_2 x \ge -2$
$x \ge 2^{-2}$
$x \ge \frac{1}{4}$
Объединяя условия $x > 0$ и $x \ge \frac{1}{4}$, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{1}{4}$. Условие $x^2 + 3 + \log_2 x \ge 0$ будет выполнено автоматически, если мы найдем решения, так как после возведения в квадрат левая часть будет равна квадрату правой части, который неотрицателен.
Возведем обе части уравнения в квадрат при условии, что правая часть неотрицательна (что учтено в ОДЗ):
$(\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x})^2 = (2 + \log_2 x)^2$
$x^2 + 3 + \log_2 x = 4 + 4\log_2 x + (\log_2 x)^2$
Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:
$(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x + 1 - x^2 = 0$
Это трансцендентное уравнение, которое сложно решить аналитически. Однако можно попробовать найти решение подбором. Проверим "удобное" значение $x=1$, которое удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1/4$).
Подставим $x=1$ в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{1^2 + 3 + \log_2 1} = \sqrt{1 + 3 + 0} = \sqrt{4} = 2$.
Правая часть: $2 + \log_2 1 = 2 + 0 = 2$.
Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем уравнения.
Ответ: $1$
б)
Исходное уравнение: $\log_2 \frac{12}{-3-x} = \log_2 (1-x)$.
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
1) $\frac{12}{-3-x} > 0$. Так как числитель 12 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $-3-x > 0 \implies x < -3$.
2) $1-x > 0 \implies x < 1$.
Пересечением этих двух условий является $x < -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -3)$.
Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$\frac{12}{-3-x} = 1-x$
Умножим обе части на $(-3-x)$, что допустимо в ОДЗ:
$12 = (1-x)(-3-x)$
$12 = -3 - x + 3x + x^2$
$12 = x^2 + 2x - 3$
Получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 15 = 0$
Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < -3$):
$x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 < -3$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = -5$ удовлетворяет условию $-5 < -3$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $-5$
в)
Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{3}}(x^4 - 17x^2 + \log_2 x) = \log_{\frac{1}{3}}(19x^2 + \log_2 x)$.
Найдем ОДЗ. Наличие $\log_2 x$ требует, чтобы $x > 0$. Также аргументы логарифмов с основанием 1/3 должны быть положительными. Так как мы будем приравнивать аргументы, достаточно проверить положительность одного из них для найденных корней.
$x^4 - 17x^2 + \log_2 x > 0$
$19x^2 + \log_2 x > 0$
Приравняем аргументы логарифмов:
$x^4 - 17x^2 + \log_2 x = 19x^2 + \log_2 x$
Члены $\log_2 x$ в обеих частях уравнения сокращаются:
$x^4 - 17x^2 = 19x^2$
$x^4 - 36x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 36) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x^2 = 0 \implies x = 0$.
2) $x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x = 6$ или $x = -6$.
Проверим найденные значения $x=0, x=6, x=-6$ на соответствие ОДЗ.
Условие $x > 0$ (из $\log_2 x$) сразу исключает $x=0$ и $x=-6$. Остается проверить $x=6$.
Проверим, положительны ли аргументы логарифмов при $x=6$:
$19x^2 + \log_2 x = 19(6^2) + \log_2 6 = 19 \cdot 36 + \log_2 6 = 684 + \log_2 6$.
Так как $6 > 1$, то $\log_2 6 > 0$, значит $684 + \log_2 6 > 0$. Условие ОДЗ выполняется.
Таким образом, единственным решением является $x=6$.
Ответ: $6$
г)
Исходное уравнение: $\log_3(x^2 - \sqrt{x^2-4}+1) = \log_3(x^3 - \sqrt{x^2-4}-6x+1)$.
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Также аргументы логарифмов должны быть положительны. Мы проверим это условие для найденных корней.
Приравняем аргументы логарифмов:
$x^2 - \sqrt{x^2-4}+1 = x^3 - \sqrt{x^2-4}-6x+1$
Члены $-\sqrt{x^2-4}$ и $+1$ в обеих частях уравнения сокращаются:
$x^2 = x^3 - 6x$
Перенесем все в одну сторону:
$x^3 - x^2 - 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - x - 6) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x_1 = 0$.
2) $x^2 - x - 6 = 0$. Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_2=3$ и $x_3=-2$.
Проверим полученные корни $x_1=0, x_2=3, x_3=-2$ на соответствие ОДЗ $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
$x_1 = 0$ не входит в ОДЗ, так как не удовлетворяет условию $|x| \ge 2$.
$x_2 = 3$ входит в ОДЗ, так как $3 \ge 2$.
$x_3 = -2$ входит в ОДЗ, так как $-2 \le -2$.
Теперь проверим, положительны ли аргументы логарифмов для $x=3$ и $x=-2$. Так как при этих значениях аргументы равны, достаточно проверить один из них, например $x^2 - \sqrt{x^2-4}+1$.
При $x=3$: $3^2 - \sqrt{3^2-4}+1 = 9 - \sqrt{5}+1 = 10 - \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} < \sqrt{100}=10$, то $10-\sqrt{5} > 0$. Корень подходит.
При $x=-2$: $(-2)^2 - \sqrt{(-2)^2-4}+1 = 4 - \sqrt{4-4}+1 = 4 - 0 + 1 = 5 > 0$. Корень подходит.
Оба корня, $3$ и $-2$, удовлетворяют всем условиям.
Ответ: $-2; 3$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.34 расположенного на странице 239 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.34 (с. 239), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.