Номер 8.34, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.34, страница 239.

Условие.

8.34 a) $\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x} = 2 + \log_2 x$;
б) $\log_2 \frac{12}{-3-x} = \log_2 (1-x)$;
в) $\log_{\frac{1}{3}}(x^4 - 17x^2 + \log_2 x) = \log_{\frac{1}{3}}(19x^2 + \log_2 x)$;
г) $\log_3 (x^2 - \sqrt{x^2 - 4 + 1}) = \log_3 (x^3 - \sqrt{x^2 - 4 - 6x + 1})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x} = 2 + \log_2 x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. Во-вторых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x^2 + 3 + \log_2 x \ge 0$. В-третьих, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2 + \log_2 x \ge 0$.

Решим неравенство $2 + \log_2 x \ge 0$:

$\log_2 x \ge -2$

$x \ge 2^{-2}$

$x \ge \frac{1}{4}$

Объединяя условия $x > 0$ и $x \ge \frac{1}{4}$, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{1}{4}$. Условие $x^2 + 3 + \log_2 x \ge 0$ будет выполнено автоматически, если мы найдем решения, так как после возведения в квадрат левая часть будет равна квадрату правой части, который неотрицателен.

Возведем обе части уравнения в квадрат при условии, что правая часть неотрицательна (что учтено в ОДЗ):

$(\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x})^2 = (2 + \log_2 x)^2$

$x^2 + 3 + \log_2 x = 4 + 4\log_2 x + (\log_2 x)^2$

Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x + 1 - x^2 = 0$

Это трансцендентное уравнение, которое сложно решить аналитически. Однако можно попробовать найти решение подбором. Проверим "удобное" значение $x=1$, которое удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1/4$).

Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{1^2 + 3 + \log_2 1} = \sqrt{1 + 3 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

Правая часть: $2 + \log_2 1 = 2 + 0 = 2$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем уравнения.

Ответ: $1$

б)

Исходное уравнение: $\log_2 \frac{12}{-3-x} = \log_2 (1-x)$.

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1) $\frac{12}{-3-x} > 0$. Так как числитель 12 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $-3-x > 0 \implies x < -3$.

2) $1-x > 0 \implies x < 1$.

Пересечением этих двух условий является $x < -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -3)$.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{12}{-3-x} = 1-x$

Умножим обе части на $(-3-x)$, что допустимо в ОДЗ:

$12 = (1-x)(-3-x)$

$12 = -3 - x + 3x + x^2$

$12 = x^2 + 2x - 3$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < -3$):

$x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 < -3$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = -5$ удовлетворяет условию $-5 < -3$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-5$

в)

Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{3}}(x^4 - 17x^2 + \log_2 x) = \log_{\frac{1}{3}}(19x^2 + \log_2 x)$.

Найдем ОДЗ. Наличие $\log_2 x$ требует, чтобы $x > 0$. Также аргументы логарифмов с основанием 1/3 должны быть положительными. Так как мы будем приравнивать аргументы, достаточно проверить положительность одного из них для найденных корней.

$x^4 - 17x^2 + \log_2 x > 0$

$19x^2 + \log_2 x > 0$

Приравняем аргументы логарифмов:

$x^4 - 17x^2 + \log_2 x = 19x^2 + \log_2 x$

Члены $\log_2 x$ в обеих частях уравнения сокращаются:

$x^4 - 17x^2 = 19x^2$

$x^4 - 36x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 36) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$.

2) $x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x = 6$ или $x = -6$.

Проверим найденные значения $x=0, x=6, x=-6$ на соответствие ОДЗ.

Условие $x > 0$ (из $\log_2 x$) сразу исключает $x=0$ и $x=-6$. Остается проверить $x=6$.

Проверим, положительны ли аргументы логарифмов при $x=6$:

$19x^2 + \log_2 x = 19(6^2) + \log_2 6 = 19 \cdot 36 + \log_2 6 = 684 + \log_2 6$.

Так как $6 > 1$, то $\log_2 6 > 0$, значит $684 + \log_2 6 > 0$. Условие ОДЗ выполняется.

Таким образом, единственным решением является $x=6$.

Ответ: $6$

г)

Исходное уравнение: $\log_3(x^2 - \sqrt{x^2-4}+1) = \log_3(x^3 - \sqrt{x^2-4}-6x+1)$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Также аргументы логарифмов должны быть положительны. Мы проверим это условие для найденных корней.

Приравняем аргументы логарифмов:

$x^2 - \sqrt{x^2-4}+1 = x^3 - \sqrt{x^2-4}-6x+1$

Члены $-\sqrt{x^2-4}$ и $+1$ в обеих частях уравнения сокращаются:

$x^2 = x^3 - 6x$

Перенесем все в одну сторону:

$x^3 - x^2 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 - x - 6 = 0$. Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_2=3$ и $x_3=-2$.

Проверим полученные корни $x_1=0, x_2=3, x_3=-2$ на соответствие ОДЗ $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

$x_1 = 0$ не входит в ОДЗ, так как не удовлетворяет условию $|x| \ge 2$.

$x_2 = 3$ входит в ОДЗ, так как $3 \ge 2$.

$x_3 = -2$ входит в ОДЗ, так как $-2 \le -2$.

Теперь проверим, положительны ли аргументы логарифмов для $x=3$ и $x=-2$. Так как при этих значениях аргументы равны, достаточно проверить один из них, например $x^2 - \sqrt{x^2-4}+1$.

При $x=3$: $3^2 - \sqrt{3^2-4}+1 = 9 - \sqrt{5}+1 = 10 - \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} < \sqrt{100}=10$, то $10-\sqrt{5} > 0$. Корень подходит.

При $x=-2$: $(-2)^2 - \sqrt{(-2)^2-4}+1 = 4 - \sqrt{4-4}+1 = 4 - 0 + 1 = 5 > 0$. Корень подходит.

Оба корня, $3$ и $-2$, удовлетворяют всем условиям.

Ответ: $-2; 3$