Номер 8.29, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.29, страница 236.

Условие.

8.29* a) $\frac{2}{(\log_x 5)^2} - \log_5 x = 0;$

б) $\frac{1}{(\log_x 3)^2} + \log_3 x = 0;$

В) $\frac{2}{(\log_x 4)^2} + \log_4 x = 0;$

Г) $\frac{1}{(2\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{2}{(\log_x 5)^2} - \log_5 x = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$). Аргумент логарифма $x$ должен быть положительным ($x > 0$). Знаменатель не должен быть равен нулю: $(\log_x 5)^2 \neq 0$, что означает $\log_x 5 \neq 0$, а это верно при $x \neq 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Для решения уравнения приведем логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

В нашем случае: $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.

3. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{2}{(\frac{1}{\log_5 x})^2} - \log_5 x = 0$

$2(\log_5 x)^2 - \log_5 x = 0$

4. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - t = 0$

$t(2t - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = \frac{1}{2}$.

5. Вернемся к исходной переменной:

Если $\log_5 x = 0$, то $x = 5^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$.

Если $\log_5 x = \frac{1}{2}$, то $x = 5^{1/2} = \sqrt{5}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \sqrt{5}$.

б) $\frac{1}{(\log_x 3)^2} + \log_3 x = 0$

1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

2. Приведем логарифмы к основанию 3, используя формулу $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$.

3. Подставим в уравнение:

$\frac{1}{(\frac{1}{\log_3 x})^2} + \log_3 x = 0$

$(\log_3 x)^2 + \log_3 x = 0$

4. Сделаем замену $t = \log_3 x$:

$t^2 + t = 0$

$t(t + 1) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.

5. Выполним обратную замену:

Если $\log_3 x = 0$, то $x = 3^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Если $\log_3 x = -1$, то $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

в) $\frac{2}{(\log_x 4)^2} + \log_4 x = 0$

1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

2. Приведем логарифмы к основанию 4, используя формулу $\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}$.

3. Подставим в уравнение:

$\frac{2}{(\frac{1}{\log_4 x})^2} + \log_4 x = 0$

$2(\log_4 x)^2 + \log_4 x = 0$

4. Сделаем замену $t = \log_4 x$:

$2t^2 + t = 0$

$t(2t + 1) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$.

5. Выполним обратную замену:

Если $\log_4 x = 0$, то $x = 4^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Если $\log_4 x = -\frac{1}{2}$, то $x = 4^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) $\frac{1}{(2\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0$

1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

2. Преобразуем знаменатель и приведем логарифмы к основанию 6:

$\frac{1}{4(\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0$

Используем свойство $\log_x 6 = \frac{1}{\log_6 x}$.

3. Подставим в уравнение:

$\frac{1}{4(\frac{1}{\log_6 x})^2} - \log_6 x = 0$

$\frac{(\log_6 x)^2}{4} - \log_6 x = 0$

4. Сделаем замену $t = \log_6 x$:

$\frac{t^2}{4} - t = 0$

Домножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$t^2 - 4t = 0$

$t(t - 4) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.

5. Выполним обратную замену:

Если $\log_6 x = 0$, то $x = 6^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Если $\log_6 x = 4$, то $x = 6^4 = 1296$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1296$.