Номер 8.29, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.29, страница 236.
№8.29 (с. 236)
Условие. №8.29 (с. 236)
скриншот условия

8.29* a) $\frac{2}{(\log_x 5)^2} - \log_5 x = 0;$
б) $\frac{1}{(\log_x 3)^2} + \log_3 x = 0;$
В) $\frac{2}{(\log_x 4)^2} + \log_4 x = 0;$
Г) $\frac{1}{(2\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0.$
Решение 1. №8.29 (с. 236)




Решение 2. №8.29 (с. 236)


Решение 3. №8.29 (с. 236)


Решение 4. №8.29 (с. 236)
а) $\frac{2}{(\log_x 5)^2} - \log_5 x = 0$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$). Аргумент логарифма $x$ должен быть положительным ($x > 0$). Знаменатель не должен быть равен нулю: $(\log_x 5)^2 \neq 0$, что означает $\log_x 5 \neq 0$, а это верно при $x \neq 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
2. Для решения уравнения приведем логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
В нашем случае: $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.
3. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{2}{(\frac{1}{\log_5 x})^2} - \log_5 x = 0$
$2(\log_5 x)^2 - \log_5 x = 0$
4. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид:
$2t^2 - t = 0$
$t(2t - 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = \frac{1}{2}$.
5. Вернемся к исходной переменной:
Если $\log_5 x = 0$, то $x = 5^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$.
Если $\log_5 x = \frac{1}{2}$, то $x = 5^{1/2} = \sqrt{5}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \sqrt{5}$.
б) $\frac{1}{(\log_x 3)^2} + \log_3 x = 0$
1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.
2. Приведем логарифмы к основанию 3, используя формулу $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$.
3. Подставим в уравнение:
$\frac{1}{(\frac{1}{\log_3 x})^2} + \log_3 x = 0$
$(\log_3 x)^2 + \log_3 x = 0$
4. Сделаем замену $t = \log_3 x$:
$t^2 + t = 0$
$t(t + 1) = 0$
Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.
5. Выполним обратную замену:
Если $\log_3 x = 0$, то $x = 3^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Если $\log_3 x = -1$, то $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.
в) $\frac{2}{(\log_x 4)^2} + \log_4 x = 0$
1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.
2. Приведем логарифмы к основанию 4, используя формулу $\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}$.
3. Подставим в уравнение:
$\frac{2}{(\frac{1}{\log_4 x})^2} + \log_4 x = 0$
$2(\log_4 x)^2 + \log_4 x = 0$
4. Сделаем замену $t = \log_4 x$:
$2t^2 + t = 0$
$t(2t + 1) = 0$
Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$.
5. Выполним обратную замену:
Если $\log_4 x = 0$, то $x = 4^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Если $\log_4 x = -\frac{1}{2}$, то $x = 4^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.
г) $\frac{1}{(2\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0$
1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.
2. Преобразуем знаменатель и приведем логарифмы к основанию 6:
$\frac{1}{4(\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0$
Используем свойство $\log_x 6 = \frac{1}{\log_6 x}$.
3. Подставим в уравнение:
$\frac{1}{4(\frac{1}{\log_6 x})^2} - \log_6 x = 0$
$\frac{(\log_6 x)^2}{4} - \log_6 x = 0$
4. Сделаем замену $t = \log_6 x$:
$\frac{t^2}{4} - t = 0$
Домножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.
5. Выполним обратную замену:
Если $\log_6 x = 0$, то $x = 6^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Если $\log_6 x = 4$, то $x = 6^4 = 1296$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 1296$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.29 расположенного на странице 236 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.29 (с. 236), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.