Номер 8.22, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.22, страница 236.

Условие.

Решите уравнение (8.22—8.30):

8.22 а) $5(7 - 3\sqrt{x}) - 3(2x - 5\sqrt{x}) = 41;$

б) $2(3 - 5\sqrt{x}) - 5(x - 2\sqrt{x}) = x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $5(7 - 3\sqrt{x}) - 3(2x - 5\sqrt{x}) = 41$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует квадратный корень из переменной $x$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Теперь решим уравнение. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$5 \cdot 7 - 5 \cdot 3\sqrt{x} - 3 \cdot 2x - 3 \cdot (-5\sqrt{x}) = 41$
$35 - 15\sqrt{x} - 6x + 15\sqrt{x} = 41$

Приведем подобные слагаемые. Члены, содержащие $\sqrt{x}$, взаимно уничтожаются:
$35 - 6x + (-15\sqrt{x} + 15\sqrt{x}) = 41$
$35 - 6x = 41$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$-6x = 41 - 35$
$-6x = 6$
$x = \frac{6}{-6}$
$x = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ области допустимых значений $x \ge 0$.
Поскольку $-1 < 0$, найденное значение не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б) $2(3 - 5\sqrt{x}) - 5(x - 2\sqrt{x}) = x$

Область допустимых значений для этого уравнения также определяется условием $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2 \cdot 3 - 2 \cdot 5\sqrt{x} - 5 \cdot x - 5 \cdot (-2\sqrt{x}) = x$
$6 - 10\sqrt{x} - 5x + 10\sqrt{x} = x$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $\sqrt{x}$ взаимно уничтожаются:
$6 - 5x + (-10\sqrt{x} + 10\sqrt{x}) = x$
$6 - 5x = x$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:
$6 = x + 5x$
$6 = 6x$
$x = \frac{6}{6}$
$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень $x = 1$ области допустимых значений $x \ge 0$.
Так как $1 \ge 0$, корень является решением уравнения.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$2(3 - 5\sqrt{1}) - 5(1 - 2\sqrt{1}) = 1$
$2(3 - 5) - 5(1 - 2) = 1$
$2(-2) - 5(-1) = 1$
$-4 + 5 = 1$
$1 = 1$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 1.