Номер 8.20, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.20, страница 233.

Условие.

8.20* ИССЛЕДУЕМ

При каких значениях параметра $a$ уравнение $\lg (x^2 + 3x + a) = \lg (x + 1)^2$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Исходное уравнение $ \lg(x^2 + 3x + a) = \lg(x + 1)^2 $ равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны и положительны:
$ \begin{cases} x^2 + 3x + a = (x + 1)^2 \\ (x + 1)^2 > 0 \end{cases} $

Из второго условия системы, $ (x + 1)^2 > 0 $, следует, что $ x + 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $. Это и есть область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Заметим, что первое условие ОДЗ, $ x^2 + 3x + a > 0 $, выполняется автоматически, так как $ x^2 + 3x + a $ равно выражению $ (x + 1)^2 $, которое по второму условию строго положительно.

Теперь решим первое уравнение системы:
$ x^2 + 3x + a = (x + 1)^2 $
$ x^2 + 3x + a = x^2 + 2x + 1 $
$ 3x - 2x = 1 - a $
$ x = 1 - a $

Мы получили, что при любом значении параметра $a$ уравнение имеет единственный возможный корень $ x = 1 - a $. Уравнение не будет иметь решений тогда и только тогда, когда этот корень не удовлетворяет области допустимых значений, то есть когда $ x = -1 $.

Найдем значение параметра $a$, при котором $ x = -1 $:
$ 1 - a = -1 $
$ -a = -2 $
$ a = 2 $

Таким образом, если $ a = 2 $, то единственный потенциальный корень $ x = 1 - 2 = -1 $ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ ($ x \neq -1 $). Следовательно, при $ a = 2 $ исходное уравнение не имеет корней.
При всех других значениях $a$ ($a \neq 2$) корень $ x = 1 - a $ удовлетворяет ОДЗ и является единственным решением уравнения.

Ответ: $2$.