Номер 8.14, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.14, страница 232.

Решите уравнение (8.14—8.19):

8.14 а) $\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(x - 3);$

б) $\log_4(x^2 - 5x) = \log_4(x - 9);$

в) $\log_5(x^2 + 13x) = \log_5(9x + 5);$

г) $\log_6(x^2 - x) = \log_6(6x - 10).$

а) $\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(x - 3)$

Данное логарифмическое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного приравниванием аргументов логарифмов, и неравенства, задающего область допустимых значений (ОДЗ). В качестве неравенства достаточно выбрать условие положительности для более простого выражения под знаком логарифма.

Система выглядит так:
$x^2 - 3x = x - 3$
$x - 3 > 0$

Сначала решим уравнение:

$x^2 - 3x = x - 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни квадратного уравнения:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Теперь решим неравенство, чтобы проверить найденные корни на соответствие ОДЗ:

$x - 3 > 0 \implies x > 3$

Проверим корни:

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 3$.

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию $x > 3$ (так как $3=3$, а не $3>3$).

Так как ни один из корней не входит в область допустимых значений, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б) $\log_4(x^2 - 5x) = \log_4(x - 9)$

Уравнение равносильно системе:
$x^2 - 5x = x - 9$
$x - 9 > 0$

Решаем уравнение:

$x^2 - 5x = x - 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Это полный квадрат разности:

$(x - 3)^2 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Решаем неравенство для проверки ОДЗ:

$x - 9 > 0 \implies x > 9$

Проверяем корень $x=3$. Он не удовлетворяет условию $x > 9$.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $\log_5(x^2 + 13x) = \log_5(9x + 5)$

Уравнение равносильно системе:
$x^2 + 13x = 9x + 5$
$9x + 5 > 0$

Решаем уравнение:

$x^2 + 13x = 9x + 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = -4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.

Решаем неравенство для проверки ОДЗ:

$9x + 5 > 0 \implies 9x > -5 \implies x > -\frac{5}{9}$

Проверяем корни:

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x > -\frac{5}{9}$.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x > -\frac{5}{9}$, так как $-5 < -\frac{5}{9}$.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $1$.

г) $\log_6(x^2 - x) = \log_6(6x - 10)$

Уравнение равносильно системе:
$x^2 - x = 6x - 10$
$6x - 10 > 0$

Решаем уравнение:

$x^2 - x = 6x - 10$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Решаем неравенство для проверки ОДЗ:

$6x - 10 > 0 \implies 6x > 10 \implies x > \frac{10}{6} \implies x > \frac{5}{3}$

Проверяем корни:

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x > \frac{5}{3}$, так как $2 > \frac{5}{3}$ (поскольку $2 = \frac{6}{3}$).

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x > \frac{5}{3}$, так как $5 > \frac{5}{3}$ (поскольку $5 = \frac{15}{3}$).

Оба корня входят в область допустимых значений.

Ответ: $2; 5$.