Номер 8.10, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.10, страница 231.

8.10* a) $\sqrt{\log_2^2 x + 3} = \log_2 x - 1;$

в) $\sqrt{4^{x+1} - 2^{x+1} - 3} = 2^x + 1;$

д) $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x;$

б) $\sqrt{\log_3^2 x + 5} = 1 - \log_3 x;$

г) $\sqrt{3 \cdot 4^x - 2^x + 2} = 2^x + 1;$

е) $\sqrt{1 + \sin x} = \cos x.$

а)

Дано уравнение $\sqrt{\log_2^2 x + 3} = \log_2 x - 1$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_2^2 x + 3 \ge 0$. Это верно для любого действительного значения $\log_2 x$, так как $\log_2^2 x \ge 0$.
3. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как значение квадратного корня неотрицательно: $\log_2 x - 1 \ge 0$, что означает $\log_2 x \ge 1$. Отсюда $x \ge 2^1$, то есть $x \ge 2$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{y^2 + 3} = y - 1$.
При этом условие на новую переменную: $y \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 + 3 = (y - 1)^2$
$y^2 + 3 = y^2 - 2y + 1$
$3 = -2y + 1$
$2y = 1 - 3$
$2y = -2$
$y = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \ge 1$. $-1 \ge 1$ — это неверно. Следовательно, уравнение для $y$ не имеет решений, удовлетворяющих условию. Значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

б)

Дано уравнение $\sqrt{\log_3^2 x + 5} = 1 - \log_3 x$.

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_3^2 x + 5 \ge 0$ (верно всегда).
3. $1 - \log_3 x \ge 0 \implies \log_3 x \le 1 \implies x \le 3^1=3$.

Общая ОДЗ: $0 < x \le 3$.

Сделаем замену $y = \log_3 x$. Уравнение становится: $\sqrt{y^2 + 5} = 1 - y$.
Условие на $y$: $y \le 1$.

Возводим в квадрат: $y^2 + 5 = (1 - y)^2$
$y^2 + 5 = 1 - 2y + y^2$
$5 = 1 - 2y$
$2y = 1 - 5$
$2y = -4$
$y = -2$

Проверяем условие $y \le 1$: $-2 \le 1$ — верно.

Выполняем обратную замену: $\log_3 x = -2$
$x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ ($0 < x \le 3$): $0 < \frac{1}{9} \le 3$ — верно.

Ответ: $x = \frac{1}{9}$.

в)

Дано уравнение $\sqrt{4^{x+1} - 2^{x+1} - 3} = 2^x + 1$.

Преобразуем подкоренное выражение: $4^{x+1} - 2^{x+1} - 3 = 4 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x - 3 = 4 \cdot (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 3$. Сделаем замену $t = 2^x$. Так как $x$ — любое действительное число, то $t > 0$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{4t^2 - 2t - 3} = t + 1$.

ОДЗ для $t$:
1. $t > 0$.
2. $t+1 \ge 0$ (верно, так как $t>0$).
3. $4t^2 - 2t - 3 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 - 2t - 3 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(4)(-3) = 4 + 48 = 52$. Корни: $t = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$. Неравенство выполняется при $t \le \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ или $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$. Учитывая $t>0$, получаем $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$.

Возводим обе части уравнения в квадрат: $4t^2 - 2t - 3 = (t + 1)^2$
$4t^2 - 2t - 3 = t^2 + 2t + 1$
$3t^2 - 4t - 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$t_2 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Корень $t_2 = -2/3$ не подходит, так как $t > 0$. Проверим корень $t_1 = 2$ на соответствие ОДЗ: $2 \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$. $8 \ge 1 + \sqrt{13} \implies 7 \ge \sqrt{13} \implies 49 \ge 13$. Верно. Значит, $t=2$ — корень уравнения.

Выполняем обратную замену: $2^x = 2 \implies x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

г)

Дано уравнение $\sqrt{3 \cdot 4^x - 2^x + 2} = 2^x + 1$.

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение: $\sqrt{3t^2 - t + 2} = t + 1$.

ОДЗ для $t$:
1. $t > 0$.
2. $t+1 \ge 0$ (верно при $t > 0$).
3. $3t^2 - t + 2 \ge 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(3)(2) = 1 - 24 = -23 < 0$. Так как старший коэффициент $3 > 0$, трехчлен всегда положителен. Это условие выполняется для любого $t$.

Возводим в квадрат: $3t^2 - t + 2 = (t + 1)^2$
$3t^2 - t + 2 = t^2 + 2t + 1$
$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.
$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$.
$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня положительны, значит, оба подходят.

Обратная замена: 1. $2^x = 1 \implies x = 0$.
2. $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0$.

д)

Дано уравнение $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$.

ОДЗ:
1. $1 - \cos x \ge 0$ (верно всегда, так как $\cos x \le 1$).
2. $\sin x \ge 0$. Это соответствует $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Возводим обе части в квадрат: $1 - \cos x = \sin^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $1 - \cos x = 1 - \cos^2 x$
$\cos^2 x - \cos x = 0$
$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Получаем два случая:
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\sin x \ge 0$).
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (четные $n$), $\sin x = 1 \ge 0$. Эти корни подходят.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (нечетные $n$), $\sin x = -1 < 0$. Эти корни не подходят. Остается серия корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\sin x \ge 0$).
При $x = 2\pi k$, $\sin x = 0 \ge 0$. Эти корни подходят.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $\sqrt{1 + \sin x} = \cos x$.

ОДЗ:
1. $1 + \sin x \ge 0$ (верно всегда, так как $\sin x \ge -1$).
2. $\cos x \ge 0$. Это соответствует $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Возводим в квадрат: $1 + \sin x = \cos^2 x$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $1 + \sin x = 1 - \sin^2 x$
$\sin^2 x + \sin x = 0$
$\sin x (\sin x + 1) = 0$

Получаем два случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\cos x \ge 0$).
При $x = 2\pi k$ (четные $n$), $\cos x = 1 \ge 0$. Корни подходят.
При $x = \pi + 2\pi k$ (нечетные $n$), $\cos x = -1 < 0$. Корни не подходят. Остается серия $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\cos x \ge 0$).
При $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\cos x = 0 \ge 0$. Корни подходят.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = 2\pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.