Номер 8.3, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.3, страница 228.

8.3* a) $\sqrt{x} - 2\sqrt{x-3} = 0$, $\sqrt{(x-2)(x-3)} = 0$;

б) $\frac{\sqrt{2x^2 - 9x + 3}}{\sqrt{x - 2}} = \sqrt{x + 3}$, $\sqrt{\frac{2x^2 - 9x + 3}{x - 2}} = \sqrt{x + 3}$;

в) $2\log_4 x = 1$, $\log_4 x^2 = 1$;

г) $3^{\log_3 x} = x^2$, $x = x^2$;

д) $\log_2 x + \log_2 (x + 2) = 3$, $\log_2 (x(x + 2)) = 3$;

е) $\log_2 x - \log_2 (x + 2) = \log_2 (2x + 10)$, $\log_2 \frac{x}{x + 2} = \log_2 (2x + 10)$.

а) Решим два уравнения по отдельности.

1. Уравнение $\sqrt{x-2\sqrt{x-3}} = 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным, но так как все выражение равно нулю, то подкоренное выражение должно быть равно нулю: $x-2\sqrt{x-3} = 0$.
Перенесем слагаемое: $x = 2\sqrt{x-3}$.
Так как $x \ge 3$, обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = (2\sqrt{x-3})^2$
$x^2 = 4(x-3)$
$x^2 = 4x - 12$
$x^2 - 4x + 12 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$.
Поскольку $D < 0$, действительных корней у уравнения нет.
Ответ: корней нет ($\emptyset$).

2. Уравнение $\sqrt{(x-2)(x-3)} = 0$.
ОДЗ: $(x-2)(x-3) \ge 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x-2)(x-3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x-2=0$ или $x-3=0$.
$x_1=2$, $x_2=3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=2, x=3$.

б) Исходное уравнение $\frac{\sqrt{2x^2-9x+3}}{\sqrt{x-2}} = \sqrt{x+3}$.
Это уравнение равносильно уравнению $\sqrt{\frac{2x^2-9x+3}{x-2}} = \sqrt{x+3}$ при условии, что подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю.
Найдем ОДЗ:
1. $2x^2-9x+3 \ge 0$
2. $x-2 > 0 \implies x > 2$
3. $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
Объединяя условия, получаем, что $x > 2$ и $2x^2-9x+3 \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$\frac{2x^2-9x+3}{x-2} = x+3$
Так как $x>2$, то $x-2 \neq 0$. Умножим обе части на $x-2$:
$2x^2-9x+3 = (x+3)(x-2)$
$2x^2-9x+3 = x^2+x-6$
$x^2-10x+9 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1=1$, $x_2=9$.
Проверим корни по ОДЗ ($x>2$).
$x_1=1$ не удовлетворяет условию $x>2$.
$x_2=9$ удовлетворяет условию $x>2$. Проверим для него условие $2x^2-9x+3 \ge 0$: $2(9)^2-9(9)+3 = 2(81)-81+3 = 81+3=84 \ge 0$. Условие выполняется.
Ответ: $x=9$.

в) Решим два уравнения, обращая внимание на разницу в ОДЗ.

1. Уравнение $2\log_4 x = 1$.
ОДЗ: $x > 0$.
Разделим на 2: $\log_4 x = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма: $x = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=2$.

2. Уравнение $\log_4 x^2 = 1$.
ОДЗ: $x^2 > 0$, что означает $x \neq 0$.
По определению логарифма: $x^2 = 4^1 = 4$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x=2, x=-2$.

г) Решим два уравнения. Преобразование первого приводит ко второму, но сужает ОДЗ.

1. Уравнение $3^{\log_3 x} = x^2$.
ОДЗ: $x>0$ (аргумент логарифма должен быть положителен).
По основному логарифмическому тождеству ($a^{\log_a b} = b$): $x = x^2$.
$x^2-x=0$
$x(x-1)=0$
Корни: $x_1=0$, $x_2=1$.
Проверяем по ОДЗ ($x>0$): $x=0$ не подходит, $x=1$ подходит.
Ответ: $x=1$.

2. Уравнение $x=x^2$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
$x^2-x=0$
$x(x-1)=0$
Корни: $x_1=0$, $x_2=1$.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x=0, x=1$.

д) Решим два уравнения. Второе является следствием первого, но имеет более широкую ОДЗ.

1. Уравнение $\log_2 x + \log_2(x+2) = 3$.
ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -2 \end{cases} \implies x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_2(x(x+2)) = 3$.
По определению логарифма: $x(x+2) = 2^3$.
$x^2+2x=8$
$x^2+2x-8=0$
По теореме Виета, корни: $x_1=2, x_2=-4$.
Проверяем по ОДЗ ($x>0$): $x=2$ подходит, $x=-4$ не подходит.
Ответ: $x=2$.

2. Уравнение $\log_2(x(x+2)) = 3$.
ОДЗ: $x(x+2) > 0$. Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
Решение уравнения $x^2+2x-8=0$ дает те же корни: $x_1=2, x_2=-4$.
Проверяем по ОДЗ: $x_1=2$ входит в интервал $(0, \infty)$, $x_2=-4$ входит в интервал $(-\infty, -2)$. Оба корня подходят.
Ответ: $x=2, x=-4$.

е) Решим два уравнения. Как и в предыдущих случаях, преобразование меняет ОДЗ.

1. Уравнение $\log_2 x - \log_2(x+2) = \log_2(2x+10)$.
ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x+2 > 0 \\ 2x+10 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -2 \\ x > -5 \end{cases} \implies x > 0$.
Преобразуем левую часть: $\log_2\frac{x}{x+2} = \log_2(2x+10)$.
Приравниваем аргументы логарифмов: $\frac{x}{x+2} = 2x+10$.
Умножим на $x+2$ (в ОДЗ $x>0$ это выражение не равно нулю):
$x = (2x+10)(x+2)$
$x = 2x^2+4x+10x+20$
$2x^2+13x+20=0$
Найдем дискриминант: $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9$.
Корни: $x = \frac{-13 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-13 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{-13-3}{4} = -4$, $x_2 = \frac{-13+3}{4} = -2.5$.
Ни один из корней не удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Ответ: корней нет ($\emptyset$).

2. Уравнение $\log_2\frac{x}{x+2} = \log_2(2x+10)$.
ОДЗ: $\begin{cases} \frac{x}{x+2} > 0 \\ 2x+10 > 0 \end{cases}$.
Первое неравенство $\frac{x}{x+2} > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
Второе неравенство $2x+10 > 0$ выполняется при $x > -5$.
Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (-5, -2) \cup (0, \infty)$.
Решение уравнения $2x^2+13x+20=0$ дает корни $x_1 = -4$, $x_2 = -2.5$.
Проверяем по ОДЗ: $x_1 = -4$ входит в интервал $(-5, -2)$, $x_2 = -2.5$ входит в интервал $(-5, -2)$. Оба корня подходят.
Ответ: $x=-4, x=-2.5$.