Номер 8.7, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.7, страница 230.

8.7 Возведите уравнение во вторую степень, решите полученное уравнение, проверьте, являются ли корни уравнения-следствия корнями исходного уравнения:

a) $\sqrt{x} = x - 2$;

б) $\sqrt{3x} = 2x - 3$;

в) $\sqrt{2x - 1} = x$;

г) $\sqrt{3x - 2} = x$.

a) Исходное уравнение: $\sqrt{x} = x - 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x-2)^2$

$x = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения-следствия: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Теперь выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение $\sqrt{x} = x - 2$. При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна. Также необходимо учесть, что правая часть уравнения $x-2$ должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня. То есть, $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Проверка для $x_1 = 1$:

Условие $x \ge 2$ не выполняется, так как $1 < 2$. Следовательно, $x=1$ является посторонним корнем.

Подстановка в уравнение также показывает неверность: $\sqrt{1} = 1 - 2$, что дает $1 = -1$.

Проверка для $x_2 = 4$:

Условие $x \ge 2$ выполняется, так как $4 \ge 2$.

Подстановка в уравнение: $\sqrt{4} = 4 - 2$, что дает $2 = 2$. Это верное равенство.

Таким образом, корень $x=4$ является корнем исходного уравнения, а корень $x=1$ — посторонний.

Ответ: 4.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3x} = 2x - 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x})^2 = (2x-3)^2$

$3x = 4x^2 - 12x + 9$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$4x^2 - 15x + 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения-следствия: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 9}{8}$.

$x_1 = \frac{15+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$x_2 = \frac{15-9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Выполним проверку. Условие неотрицательности правой части: $2x-3 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{3}{2}$ или $x \ge 1.5$.

Проверка для $x_1 = 3$:

Условие $x \ge 1.5$ выполняется ($3 \ge 1.5$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 3} = 2 \cdot 3 - 3$, что дает $\sqrt{9} = 6 - 3$, или $3 = 3$. Это верное равенство.

Проверка для $x_2 = \frac{3}{4}$:

Условие $x \ge 1.5$ не выполняется ($\frac{3}{4} = 0.75 < 1.5$), поэтому $x=\frac{3}{4}$ является посторонним корнем.

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot \frac{3}{4}} = 2 \cdot \frac{3}{4} - 3$, что дает $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} - 3$, или $\frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$. Это неверное равенство.

Таким образом, только $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: 3.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{2x - 1} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = x^2$

$2x - 1 = x^2$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$.

Уравнение-следствие имеет один корень: $x = 1$.

Проверим этот корень. Условие неотрицательности правой части: $x \ge 0$. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 0.5$. Оба условия сводятся к $x \ge 0.5$.

Проверка для $x = 1$:

Условие $x \ge 0.5$ выполняется ($1 \ge 0.5$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1$, что дает $\sqrt{1} = 1$, или $1 = 1$. Это верное равенство.

Следовательно, $x=1$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: 1.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{3x - 2} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 2})^2 = x^2$

$3x - 2 = x^2$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни уравнения-следствия: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни. Условие неотрицательности правой части: $x \ge 0$. Условие для подкоренного выражения: $3x-2 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$. Оба условия сводятся к $x \ge \frac{2}{3}$.

Проверка для $x_1 = 1$:

Условие $x \ge \frac{2}{3}$ выполняется ($1 > \frac{2}{3}$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = 1$, что дает $\sqrt{1} = 1$, или $1 = 1$. Это верное равенство.

Проверка для $x_2 = 2$:

Условие $x \ge \frac{2}{3}$ выполняется ($2 > \frac{2}{3}$).

Подстановка в уравнение: $\sqrt{3 \cdot 2 - 2} = 2$, что дает $\sqrt{4} = 2$, или $2 = 2$. Это верное равенство.

Оба корня уравнения-следствия являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 1; 2.