Номер 8.11, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.11, страница 231.

8.11* а) $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10;$

б) $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6;$

в) $|2 \lg x - 3| = 3 \lg x - 2;$

г) $|3 \lg x - 4| = 2 \lg x - 1;$

д) $|2^{x+1} - 7| = 5 - 2^x;$

е) $|2^{x+1} - 7| = 2^x + 1.$

а) Исходное уравнение $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10$ имеет вид $|f(x)| = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна ($g(x) \geq 0$), и подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей ($f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$).
Проверим условие $g(x) \geq 0$: $x^2 - 6x + 10 \geq 0$.
Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.
Так как старший коэффициент ($1$) положителен, а дискриминант отрицателен, то выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно при любых значениях $x$. Следовательно, дополнительных ограничений на $x$ нет.
Рассмотрим два возможных случая:
1) $x^2 - 4x + 2 = x^2 - 6x + 10$
$-4x + 2 = -6x + 10$
$2x = 8$
$x = 4$
2) $x^2 - 4x + 2 = -(x^2 - 6x + 10)$
$x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 10$
$2x^2 - 10x + 12 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, у исходного уравнения три корня.
Ответ: $2, 3, 4$.

б) Решаем уравнение $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6$ по аналогии с пунктом а).
Проверим условие неотрицательности правой части: $x^2 - 4x + 6 \geq 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.
Так как старший коэффициент ($1$) положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $x^2 - 4x + 6$ всегда положительно. Ограничений на $x$ нет.
Рассмотрим два случая:
1) $x^2 - 2x - 2 = x^2 - 4x + 6$
$-2x - 2 = -4x + 6$
$2x = 8$
$x = 4$
2) $x^2 - 2x - 2 = -(x^2 - 4x + 6)$
$x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 4x - 6$
$2x^2 - 6x + 4 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $1, 2, 4$.

в) Дано уравнение $|2\lg x - 3| = 3\lg x - 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.
Введем замену переменной: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид: $|2t - 3| = 3t - 2$.
Для существования решений необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $3t - 2 \geq 0$, откуда $t \geq \frac{2}{3}$.
Рассмотрим два случая с учетом этого условия:
1) $2t - 3 = 3t - 2$
$-t = 1 \implies t = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \geq \frac{2}{3}$, значит, он посторонний.
2) $2t - 3 = -(3t - 2)$
$2t - 3 = -3t + 2$
$5t = 5 \implies t = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $t \geq \frac{2}{3}$.
Таким образом, единственное решение для $t$ это $t=1$.
Выполним обратную замену: $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
Найденный корень удовлетворяет ОДЗ ($10 > 0$).
Ответ: $10$.

г) Дано уравнение $|3\lg x - 4| = 2\lg x - 1$.
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену $t = \lg x$. Уравнение станет: $|3t - 4| = 2t - 1$.
Условие неотрицательности правой части: $2t - 1 \geq 0 \implies t \geq \frac{1}{2}$.
Решаем два случая:
1) $3t - 4 = 2t - 1$
$t = 3$. Корень удовлетворяет условию $t \geq \frac{1}{2}$.
2) $3t - 4 = -(2t - 1)$
$3t - 4 = -2t + 1$
$5t = 5 \implies t = 1$. Корень удовлетворяет условию $t \geq \frac{1}{2}$.
Получили два решения для $t$: $t_1=3$ и $t_2=1$.
Выполним обратную замену:
Если $t=3$, то $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.
Если $t=1$, то $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $10, 1000$.

д) Дано уравнение $|2^{x+1} - 7| = 5 - 2^x$.
Перепишем $2^{x+1}$ как $2 \cdot 2^x$.
Введем замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, то $t > 0$.
Уравнение примет вид: $|2t - 7| = 5 - t$.
Условие неотрицательности правой части: $5 - t \geq 0 \implies t \leq 5$.
С учетом $t>0$, получаем итоговое ограничение на $t$: $0 < t \leq 5$.
Рассмотрим два случая:
1) $2t - 7 = 5 - t$
$3t = 12 \implies t = 4$. Значение удовлетворяет условию $0 < t \leq 5$.
2) $2t - 7 = -(5 - t)$
$2t - 7 = -5 + t \implies t = 2$. Значение удовлетворяет условию $0 < t \leq 5$.
Найдены два значения для $t$: $t_1=4$ и $t_2=2$.
Выполним обратную замену:
$2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.
$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.
Ответ: $1, 2$.

е) Дано уравнение $|2^{x+1} - 7| = 2^x + 1$.
Введем замену $t = 2^x$ ($t > 0$).
Уравнение примет вид: $|2t - 7| = t + 1$.
Правая часть $t+1$ всегда положительна, так как $t>0$. Поэтому дополнительных ограничений нет.
Рассмотрим два случая:
1) $2t - 7 = t + 1$
$t = 8$.
2) $2t - 7 = -(t + 1)$
$2t - 7 = -t - 1$
$3t = 6 \implies t = 2$.
Оба значения $t$ положительны и являются решениями.
Выполним обратную замену:
$2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.
$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.
Ответ: $1, 3$.