Номер 8.13, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.13, страница 232.

8.13° Объясните, почему переход от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, к уравнению $f(x) = g(x)$ может привести к появлению корней, посторонних для первого уравнения.

Переход от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ называется потенцированием. Этот переход является следствием, но не всегда равносильным преобразованием, и может приводить к появлению посторонних корней из-за изменения области допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

1. ОДЗ исходного уравнения. Для того чтобы логарифмическое уравнение $log_a f(x) = log_a g(x)$ имело смысл, выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными. Это накладывает на переменную $x$ следующие ограничения, которые и составляют ОДЗ:
$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $
Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только те значения $x$, которые удовлетворяют этой системе неравенств.

2. ОДЗ уравнения-следствия. Уравнение $f(x) = g(x)$ само по себе не накладывает ограничений на знаки функций $f(x)$ и $g(x)$. Оно лишь требует, чтобы их значения были равны. Это означает, что решениями этого уравнения могут быть такие значения $x$, при которых $f(x)$ и $g(x)$ одновременно положительны, одновременно отрицательны или равны нулю.

3. Причина появления посторонних корней. При переходе от логарифмического уравнения к уравнению $f(x) = g(x)$ происходит расширение ОДЗ. Мы отбрасываем условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. В результате этого расширения у уравнения-следствия $f(x) = g(x)$ могут появиться корни, при которых $f(x)$ и $g(x)$ равны, но при этом неположительны (т.е. $f(x) = g(x) \le 0$). Такие корни не входят в ОДЗ исходного логарифмического уравнения, поскольку логарифм от неположительного числа не определён. Эти корни и являются посторонними.

Пример:
Рассмотрим уравнение $log_2(x-1) = log_2(x^2 - 7)$.
ОДЗ исходного уравнения: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x^2 - 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < -\sqrt{7} \text{ или } x > \sqrt{7} \end{cases} $
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x > \sqrt{7}$ (поскольку $\sqrt{7} \approx 2.65$).
Теперь перейдем к уравнению-следствию, приравняв подлогарифмические выражения:
$x - 1 = x^2 - 7$
$x^2 - x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt{7}$):
- Корень $x_1 = 3$. Так как $3 > \sqrt{7}$, этот корень удовлетворяет ОДЗ и является корнем исходного уравнения.
- Корень $x_2 = -2$. Так как $-2 < \sqrt{7}$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ. Если подставить $x=-2$ в исходное уравнение, получим $log_2(-3) = log_2(-3)$, что не имеет смысла. Следовательно, $x=-2$ — это посторонний корень, появившийся в результате расширения ОДЗ.

Ответ: Переход от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ может привести к появлению посторонних корней, так как при этом происходит расширение области допустимых значений (ОДЗ). Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь решения, при которых значения $f(x)$ и $g(x)$ неположительны ($f(x) = g(x) \le 0$). Для таких решений исходные логарифмические выражения $log_a f(x)$ и $log_a g(x)$ не определены, поэтому эти решения являются посторонними для исходного уравнения.