Страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.13° Объясните, почему переход от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, к уравнению $f(x) = g(x)$ может привести к появлению корней, посторонних для первого уравнения.

Переход от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ называется потенцированием. Этот переход является следствием, но не всегда равносильным преобразованием, и может приводить к появлению посторонних корней из-за изменения области допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

1. ОДЗ исходного уравнения. Для того чтобы логарифмическое уравнение $log_a f(x) = log_a g(x)$ имело смысл, выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными. Это накладывает на переменную $x$ следующие ограничения, которые и составляют ОДЗ:
$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $
Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только те значения $x$, которые удовлетворяют этой системе неравенств.

2. ОДЗ уравнения-следствия. Уравнение $f(x) = g(x)$ само по себе не накладывает ограничений на знаки функций $f(x)$ и $g(x)$. Оно лишь требует, чтобы их значения были равны. Это означает, что решениями этого уравнения могут быть такие значения $x$, при которых $f(x)$ и $g(x)$ одновременно положительны, одновременно отрицательны или равны нулю.

3. Причина появления посторонних корней. При переходе от логарифмического уравнения к уравнению $f(x) = g(x)$ происходит расширение ОДЗ. Мы отбрасываем условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. В результате этого расширения у уравнения-следствия $f(x) = g(x)$ могут появиться корни, при которых $f(x)$ и $g(x)$ равны, но при этом неположительны (т.е. $f(x) = g(x) \le 0$). Такие корни не входят в ОДЗ исходного логарифмического уравнения, поскольку логарифм от неположительного числа не определён. Эти корни и являются посторонними.

Пример:
Рассмотрим уравнение $log_2(x-1) = log_2(x^2 - 7)$.
ОДЗ исходного уравнения: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x^2 - 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < -\sqrt{7} \text{ или } x > \sqrt{7} \end{cases} $
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x > \sqrt{7}$ (поскольку $\sqrt{7} \approx 2.65$).
Теперь перейдем к уравнению-следствию, приравняв подлогарифмические выражения:
$x - 1 = x^2 - 7$
$x^2 - x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt{7}$):
- Корень $x_1 = 3$. Так как $3 > \sqrt{7}$, этот корень удовлетворяет ОДЗ и является корнем исходного уравнения.
- Корень $x_2 = -2$. Так как $-2 < \sqrt{7}$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ. Если подставить $x=-2$ в исходное уравнение, получим $log_2(-3) = log_2(-3)$, что не имеет смысла. Следовательно, $x=-2$ — это посторонний корень, появившийся в результате расширения ОДЗ.

Ответ: Переход от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ может привести к появлению посторонних корней, так как при этом происходит расширение области допустимых значений (ОДЗ). Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь решения, при которых значения $f(x)$ и $g(x)$ неположительны ($f(x) = g(x) \le 0$). Для таких решений исходные логарифмические выражения $log_a f(x)$ и $log_a g(x)$ не определены, поэтому эти решения являются посторонними для исходного уравнения.

Решите уравнение (8.14—8.19):

8.14 а) $\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(x - 3);$

б) $\log_4(x^2 - 5x) = \log_4(x - 9);$

в) $\log_5(x^2 + 13x) = \log_5(9x + 5);$

г) $\log_6(x^2 - x) = \log_6(6x - 10).$

а) $\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(x - 3)$

Данное логарифмическое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного приравниванием аргументов логарифмов, и неравенства, задающего область допустимых значений (ОДЗ). В качестве неравенства достаточно выбрать условие положительности для более простого выражения под знаком логарифма.

Система выглядит так:
$x^2 - 3x = x - 3$
$x - 3 > 0$

Сначала решим уравнение:

$x^2 - 3x = x - 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни квадратного уравнения:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Теперь решим неравенство, чтобы проверить найденные корни на соответствие ОДЗ:

$x - 3 > 0 \implies x > 3$

Проверим корни:

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 3$.

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию $x > 3$ (так как $3=3$, а не $3>3$).

Так как ни один из корней не входит в область допустимых значений, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б) $\log_4(x^2 - 5x) = \log_4(x - 9)$

Уравнение равносильно системе:
$x^2 - 5x = x - 9$
$x - 9 > 0$

Решаем уравнение:

$x^2 - 5x = x - 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Это полный квадрат разности:

$(x - 3)^2 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Решаем неравенство для проверки ОДЗ:

$x - 9 > 0 \implies x > 9$

Проверяем корень $x=3$. Он не удовлетворяет условию $x > 9$.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $\log_5(x^2 + 13x) = \log_5(9x + 5)$

Уравнение равносильно системе:
$x^2 + 13x = 9x + 5$
$9x + 5 > 0$

Решаем уравнение:

$x^2 + 13x = 9x + 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = -4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.

Решаем неравенство для проверки ОДЗ:

$9x + 5 > 0 \implies 9x > -5 \implies x > -\frac{5}{9}$

Проверяем корни:

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x > -\frac{5}{9}$.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x > -\frac{5}{9}$, так как $-5 < -\frac{5}{9}$.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $1$.

г) $\log_6(x^2 - x) = \log_6(6x - 10)$

Уравнение равносильно системе:
$x^2 - x = 6x - 10$
$6x - 10 > 0$

Решаем уравнение:

$x^2 - x = 6x - 10$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Решаем неравенство для проверки ОДЗ:

$6x - 10 > 0 \implies 6x > 10 \implies x > \frac{10}{6} \implies x > \frac{5}{3}$

Проверяем корни:

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x > \frac{5}{3}$, так как $2 > \frac{5}{3}$ (поскольку $2 = \frac{6}{3}$).

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x > \frac{5}{3}$, так как $5 > \frac{5}{3}$ (поскольку $5 = \frac{15}{3}$).

Оба корня входят в область допустимых значений.

Ответ: $2; 5$.

8.15 a) $log_3(x^2 - 2x) = 1;$

б) $log_2(x^2 + 2x) = 3;$

в) $log_7(x^2 + 1,5x) = 0;$

г) $log_5(x^2 + 2\\frac{2}{3}x) = 0.$

а)

Дано уравнение $ \log_{3}(x^2 - 2x) = 1 $.

По определению логарифма, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ x^2 - 2x > 0 $

$ x(x - 2) > 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что $ x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) $.

Теперь решим само уравнение. По определению логарифма $ \log_{a}b = c \Leftrightarrow a^c = b $, получаем:

$ x^2 - 2x = 3^1 $

$ x^2 - 2x - 3 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 2 $

$ x_1 \cdot x_2 = -3 $

Корни уравнения: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:

$ x_1 = 3 $. $ 3 \in (2; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -1 $. $ -1 \in (-\infty; 0) $. Корень подходит.

Ответ: -1; 3.

б)

Дано уравнение $ \log_{2}(x^2 + 2x) = 3 $.

Найдем ОДЗ:

$ x^2 + 2x > 0 $

$ x(x + 2) > 0 $

Решая неравенство, получаем $ x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) $.

Решим уравнение:

$ x^2 + 2x = 2^3 $

$ x^2 + 2x = 8 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = -2 $

$ x_1 \cdot x_2 = -8 $

Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по ОДЗ:

$ x_1 = 2 $. $ 2 \in (0; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -4 $. $ -4 \in (-\infty; -2) $. Корень подходит.

Ответ: -4; 2.

в)

Дано уравнение $ \log_{7}(x^2 + 1,5x) = 0 $.

Найдем ОДЗ:

$ x^2 + 1,5x > 0 $

$ x(x + 1,5) > 0 $

Решая неравенство, получаем $ x \in (-\infty; -1,5) \cup (0; +\infty) $.

Решим уравнение:

$ x^2 + 1,5x = 7^0 $

$ x^2 + 1,5x = 1 $

$ x^2 + 1,5x - 1 = 0 $

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$ 2x^2 + 3x - 2 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $.

$ \sqrt{D} = 5 $.

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 $.

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 $.

Проверим корни по ОДЗ:

$ x_1 = 0,5 $. $ 0,5 \in (0; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -2 $. $ -2 \in (-\infty; -1,5) $. Корень подходит.

Ответ: -2; 0,5.

г)

Дано уравнение $ \log_{5}(x^2 + 2\frac{2}{3}x) = 0 $.

Преобразуем смешанную дробь: $ 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} $. Уравнение примет вид: $ \log_{5}(x^2 + \frac{8}{3}x) = 0 $.

Найдем ОДЗ:

$ x^2 + \frac{8}{3}x > 0 $

$ x(x + \frac{8}{3}) > 0 $

Решая неравенство, получаем $ x \in (-\infty; -\frac{8}{3}) \cup (0; +\infty) $.

Решим уравнение:

$ x^2 + \frac{8}{3}x = 5^0 $

$ x^2 + \frac{8}{3}x = 1 $

$ x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0 $

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $.

$ \sqrt{D} = 10 $.

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 $.

Проверим корни по ОДЗ:

$ x_1 = \frac{1}{3} $. $ \frac{1}{3} \in (0; +\infty) $. Корень подходит.

$ x_2 = -3 $. Так как $ -3 = -\frac{9}{3} $, а $ -\frac{9}{3} < -\frac{8}{3} $, то $ -3 \in (-\infty; -\frac{8}{3}) $. Корень подходит.

Ответ: -3; $ \frac{1}{3} $.

8.16* а) $log_{11} \left( \frac{x+20}{x} \right) = \frac{\log_2 41}{\log_2 11};$

б) $log_{13} \left( \frac{x+11}{x} \right) = \frac{\log_3 23}{\log_3 13};$

в) $log_{5} \left( \frac{x+10}{x} \right) = \frac{\log_{11} 21}{\log_{11} 5};$

г) $log_{7} \left( \frac{x+15}{x} \right) = \frac{\log_{13} 31}{\log_{13} 7}.$

а)

Данное уравнение: $ \log_{11} \left(\frac{x + 20}{x}\right) = \frac{\log_2 41}{\log_2 11} $.
В первую очередь найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ \frac{x + 20}{x} > 0 $.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -20$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty; -20)$, $(-20; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -20) \cup (0; +\infty) $.
Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $.
$ \frac{\log_2 41}{\log_2 11} = \log_{11} 41 $.
Теперь уравнение выглядит так:
$ \log_{11} \left(\frac{x + 20}{x}\right) = \log_{11} 41 $.
Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$ \frac{x + 20}{x} = 41 $.
Решим это уравнение относительно $x$, умножив обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что уже учтено в ОДЗ):
$ x + 20 = 41x $
$ 41x - x = 20 $
$ 40x = 20 $
$ x = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. $ x = 0.5 $ входит в интервал $(0; +\infty)$, следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $0.5$

б)

Данное уравнение: $ \log_{13} \left(\frac{x + 11}{x}\right) = \frac{\log_3 23}{\log_3 13} $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:
$ \frac{x + 11}{x} > 0 $.
Это неравенство верно при $ x \in (-\infty; -11) \cup (0; +\infty) $.
Используем формулу перехода к новому основанию для правой части:
$ \frac{\log_3 23}{\log_3 13} = \log_{13} 23 $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_{13} \left(\frac{x + 11}{x}\right) = \log_{13} 23 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \frac{x + 11}{x} = 23 $.
Решаем уравнение:
$ x + 11 = 23x $
$ 23x - x = 11 $
$ 22x = 11 $
$ x = \frac{11}{22} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Найденный корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > 0$.
Ответ: $0.5$

в)

Данное уравнение: $ \log_{5} \left(\frac{x + 10}{x}\right) = \frac{\log_{11} 21}{\log_{11} 5} $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:
$ \frac{x + 10}{x} > 0 $.
Это неравенство верно при $ x \in (-\infty; -10) \cup (0; +\infty) $.
Используем формулу перехода к новому основанию для правой части:
$ \frac{\log_{11} 21}{\log_{11} 5} = \log_{5} 21 $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_{5} \left(\frac{x + 10}{x}\right) = \log_{5} 21 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \frac{x + 10}{x} = 21 $.
Решаем уравнение:
$ x + 10 = 21x $
$ 21x - x = 10 $
$ 20x = 10 $
$ x = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Найденный корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > 0$.
Ответ: $0.5$

г)

Данное уравнение: $ \log_{7} \left(\frac{x + 15}{x}\right) = \frac{\log_{13} 31}{\log_{13} 7} $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:
$ \frac{x + 15}{x} > 0 $.
Это неравенство верно при $ x \in (-\infty; -15) \cup (0; +\infty) $.
Используем формулу перехода к новому основанию для правой части:
$ \frac{\log_{13} 31}{\log_{13} 7} = \log_{7} 31 $.
Уравнение принимает вид:
$ \log_{7} \left(\frac{x + 15}{x}\right) = \log_{7} 31 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \frac{x + 15}{x} = 31 $.
Решаем уравнение:
$ x + 15 = 31x $
$ 31x - x = 15 $
$ 30x = 15 $
$ x = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0.5 $.
Найденный корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > 0$.
Ответ: $0.5$