Страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.1° a) Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?

б) Являются ли все корни исходного уравнения корнями его уравнения-следствия?

в) Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения?

г) Какие преобразования приводят к уравнениям-следствиям?

д) Является ли проверка полученных корней обязательной частью решения уравнения, если в процессе решения был совершён переход от уравнения к уравнению-следствию?

а) Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?

Уравнение $f_2(x) = g_2(x)$ называется уравнением-следствием уравнения $f_1(x) = g_1(x)$, если множество корней первого (исходного) уравнения является подмножеством множества корней второго уравнения. Другими словами, каждый корень исходного уравнения также является и корнем уравнения-следствия. При этом уравнение-следствие может иметь и другие, так называемые посторонние, корни, которых нет у исходного уравнения.

Например, если исходное уравнение $\sqrt{x} = -1$ не имеет корней, а мы возведем обе части в квадрат, то получим уравнение-следствие $x=1$, у которого есть корень $x=1$. Множество корней исходного уравнения (пустое множество $\varnothing$) является подмножеством множества корней уравнения-следствия ($\{1\}$).

Ответ: Уравнением-следствием называют такое уравнение, которому удовлетворяют все корни исходного уравнения.

б) Являются ли все корни исходного уравнения корнями его уравнения-следствия?

Да, по определению. Именно это свойство и делает второе уравнение следствием первого. Если бы нашёлся хотя бы один корень исходного уравнения, который не является корнем второго уравнения, то второе уравнение не было бы следствием первого.

Ответ: Да, являются.

в) Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения?

Да, может. Это ключевая особенность перехода к уравнению-следствию. Такие корни, которые удовлетворяют уравнению-следствию, но не удовлетворяют исходному уравнению, называются посторонними корнями.

Например, решим уравнение $\sqrt{x+2} = x$. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня. Это преобразование не является равносильным и приводит к уравнению-следствию:

$x+2 = x^2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим их, подставив в исходное уравнение $\sqrt{x+2} = x$:

При $x=2$: $\sqrt{2+2} = 2 \implies \sqrt{4} = 2 \implies 2=2$. Верно. Значит, $x=2$ — корень.

При $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = -1 \implies \sqrt{1} = -1 \implies 1=-1$. Неверно. Значит, $x=-1$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение-следствие имеет корень $x=-1$, который не является корнем исходного уравнения.

Ответ: Да, может.

г) Какие преобразования приводят к уравнениям-следствиям?

К уравнениям-следствиям (но не всегда к равносильным уравнениям) приводят преобразования, которые могут расширить область допустимых значений (ОДЗ) или добавить новые решения. Основные из них:

1. Возведение обеих частей уравнения в чётную степень. Например, при переходе от $f(x)=g(x)$ к $f^2(x)=g^2(x)$ могут появиться корни уравнения $f(x)=-g(x)$.

2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную. Если это выражение может обращаться в ноль, то могут появиться посторонние корни. Например, уравнение $x=2$ имеет один корень. Умножив его на $(x-3)$, получим уравнение-следствие $x(x-3)=2(x-3)$, у которого два корня: $x=2$ и $x=3$.

3. Потенцирование (избавление от логарифмов). Переход от уравнения вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x)=g(x)$ может привести к появлению корней, при которых $f(x)$ и $g(x)$ отрицательны (но равны), что недопустимо для исходного уравнения.

4. Применение тождеств, которые расширяют область определения. Например, замена выражения $\log_a f(x) + \log_a g(x)$ на $\log_a (f(x) \cdot g(x))$ расширяет ОДЗ: в первом случае требовалось $f(x)>0$ и $g(x)>0$, а во втором достаточно, чтобы их произведение было положительным, $f(x) \cdot g(x)>0$, что возможно и при $f(x)<0$, $g(x)<0$.

Ответ: К уравнениям-следствиям приводят такие преобразования, как возведение обеих частей в четную степень, умножение на выражение с переменной, потенцирование и другие преобразования, расширяющие ОДЗ уравнения.

д) Является ли проверка полученных корней обязательной частью решения уравнения, если в процессе решения был совершён переход от уравнения к уравнению-следствию?

Да, является абсолютно обязательной. Поскольку при переходе к уравнению-следствию могут появиться посторонние корни, единственный способ их отсеять — это выполнить проверку. Проверка заключается в подстановке каждого найденного в конце решения "кандидата в корни" в самое первоначальное, исходное уравнение. Те значения переменной, которые превратят исходное уравнение в верное числовое равенство, и будут его корнями. Остальные являются посторонними и в ответ не включаются.

Ответ: Да, проверка является обязательной.