Страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

7.15* Докажите утверждения:

а) о возведении неравенства в нечётную степень;

б) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей неравенства;

в) о логарифмировании показательного неравенства.

а) о возведении неравенства в нечётную степень

Нужно доказать, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ и любого нечётного натурального числа $n$ неравенство $a > b$ равносильно неравенству $a^n > b^n$. Это означает, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень знак неравенства сохраняется.

Доказательство:

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число. Эта функция определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Для того чтобы определить, как преобразование $f(x)$ влияет на неравенства, исследуем её на монотонность. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Поскольку $n$ — нечётное натуральное число, $n-1$ — чётное неотрицательное целое число. Следовательно, $x^{n-1} \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Так как $n \ge 1$, то и произведение $n \cdot x^{n-1}$ также неотрицательно, т.е. $f'(x) \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Производная обращается в ноль только в точке $x=0$.

Это означает, что функция $f(x) = x^n$ с нечётным натуральным показателем $n$ является строго возрастающей на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

По определению строго возрастающей функции, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из её области определения, если $x_1 > x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Применим это к нашему случаю. Пусть $x_1 = a$ и $x_2 = b$. Тогда неравенство $a > b$ равносильно неравенству $f(a) > f(b)$, то есть $a^n > b^n$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно. Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную натуральную степень является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства. Это следует из того, что степенная функция $y=x^n$ с нечётным натуральным показателем $n$ строго возрастает на всей числовой оси.

б) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей неравенства

Нужно доказать, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ и любого нечётного натурального числа $n \ge 3$ неравенство $a > b$ равносильно неравенству $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$. Это означает, что при извлечении корня нечётной степени из обеих частей неравенства знак неравенства сохраняется.

Доказательство:

Данное утверждение является следствием утверждения из пункта а).

Пусть нам дано неравенство $a > b$. Обозначим $x = \sqrt[n]{a}$ и $y = \sqrt[n]{b}$. По определению корня нечётной степени (который определён для всех действительных чисел), эти равенства означают, что $a = x^n$ и $b = y^n$.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в исходное неравенство. Мы получим:

$x^n > y^n$

Мы хотим доказать, что $a > b$ равносильно $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$, что, с учётом наших обозначений, равносильно доказательству того, что $x^n > y^n$ равносильно $x > y$.

Это в точности утверждение, доказанное в пункте а): неравенство $x > y$ равносильно неравенству $x^n > y^n$ для нечётного натурального $n$.

Следовательно, утверждение об извлечении корня нечётной степени также верно. Можно было бы также доказать его через анализ монотонности функции $g(x) = \sqrt[n]{x}$, которая, как и $f(x)=x^n$ (при нечётном $n$), является строго возрастающей на $\mathbb{R}$.

Ответ: Утверждение верно. Извлечение корня одной и той же нечётной натуральной степени из обеих частей неравенства является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства. Это следует из того, что функция $y=\sqrt[n]{x}$ с нечётным натуральным показателем $n$ строго возрастает на всей числовой оси.

в) о логарифмировании показательного неравенства

Нужно доказать, что логарифмирование показательного неравенства вида $c^{f(x)} > c^{g(x)}$ (где $c>0, c \ne 1$) является равносильным преобразованием. При этом, если основание логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется, а если основание от 0 до 1 — меняется на противоположный.

Доказательство:

Рассмотрим показательное неравенство $c^{f(x)} > c^{g(x)}$. Поскольку показательная функция всегда принимает положительные значения, обе части неравенства $c^{f(x)}$ и $c^{g(x)}$ строго больше нуля. Это позволяет нам логарифмировать обе части по любому основанию $a > 0, a \ne 1$. Для удобства выберем основание логарифма равным основанию степени, то есть $a=c$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $c$.

Случай 1: Основание $c > 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_c(t)$ при $c > 1$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых положительных чисел $t_1$ и $t_2$ неравенство $t_1 > t_2$ равносильно неравенству $\log_c(t_1) > \log_c(t_2)$.

Применим это свойство к нашему неравенству, взяв $t_1 = c^{f(x)}$ и $t_2 = c^{g(x)}$.

$c^{f(x)} > c^{g(x)} \iff \log_c(c^{f(x)}) > \log_c(c^{g(x)})$

Используя основное свойство логарифма $\log_c(c^z) = z$, получаем:

$f(x) > g(x)$

Таким образом, при $c > 1$ исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

Случай 2: Основание $0 < c < 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_c(t)$ при $0 < c < 1$ является строго убывающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых положительных чисел $t_1$ и $t_2$ неравенство $t_1 > t_2$ равносильно неравенству $\log_c(t_1) < \log_c(t_2)$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Применим это свойство к нашему неравенству:

$c^{f(x)} > c^{g(x)} \iff \log_c(c^{f(x)}) < \log_c(c^{g(x)})$

Используя свойство $\log_c(c^z) = z$, получаем:

$f(x) < g(x)$

Таким образом, при $0 < c < 1$ исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) < g(x)$.

Ответ: Утверждение верно. Логарифмирование показательного неравенства $c^{f(x)} > c^{g(x)}$ по основанию $c$ является равносильным преобразованием. Исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) > g(x)$ при $c > 1$, и неравенству $f(x) < g(x)$ при $0 < c < 1$. Это следствие свойств монотонности логарифмической функции.

7.16* Докажите, что если число $a > 0$, то неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) > ag(x)$ равносильны.

Для доказательства равносильности двух неравенств необходимо показать, что множества их решений совпадают. Это означает, что любое решение первого неравенства является решением второго, и любое решение второго является решением первого. Таким образом, нужно доказать следование в обе стороны.

1. Докажем, что из $f(x) > g(x)$ следует $af(x) > ag(x)$ при $a > 0$.

Пусть для некоторого $x$ выполняется неравенство $f(x) > g(x)$. Перенесем $g(x)$ в левую часть, чтобы получить эквивалентное неравенство:

$f(x) - g(x) > 0$

По условию задачи дано, что число $a$ положительно, то есть $a > 0$. Согласно основному свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Умножим обе части неравенства $f(x) - g(x) > 0$ на положительное число $a$:

$a(f(x) - g(x)) > a \cdot 0$

Применим распределительный закон в левой части и выполним умножение в правой:

$af(x) - ag(x) > 0$

Теперь перенесем слагаемое $ag(x)$ в правую часть неравенства:

$af(x) > ag(x)$

Таким образом, мы доказали, что из истинности неравенства $f(x) > g(x)$ следует истинность неравенства $af(x) > ag(x)$.

2. Докажем, что из $af(x) > ag(x)$ следует $f(x) > g(x)$ при $a > 0$.

Пусть теперь для некоторого $x$ выполняется неравенство $af(x) > ag(x)$. Выполним равносильные преобразования. Перенесем $ag(x)$ в левую часть:

$af(x) - ag(x) > 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(f(x) - g(x)) > 0$

Так как по условию $a > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это положительное число. По свойству числовых неравенств, знак неравенства при этом сохранится:

$\frac{a(f(x) - g(x))}{a} > \frac{0}{a}$

После сокращения дроби в левой части и вычисления в правой, получаем:

$f(x) - g(x) > 0$

Перенеся $g(x)$ в правую часть, приходим к исходному неравенству:

$f(x) > g(x)$

Таким образом, мы доказали, что из истинности неравенства $af(x) > ag(x)$ следует истинность неравенства $f(x) > g(x)$.

Поскольку мы доказали, что из первого неравенства следует второе, а из второго следует первое ($f(x) > g(x) \iff af(x) > ag(x)$), то их множества решений полностью совпадают, а значит, неравенства равносильны.

Ответ: Равносильность доказана, так как, основываясь на свойстве числовых неравенств (сохранение знака при умножении/делении на положительное число), было показано, что из $f(x) > g(x)$ следует $af(x) > ag(x)$, и наоборот, из $af(x) > ag(x)$ следует $f(x) > g(x)$, что означает идентичность их множеств решений.

7.17* Докажите, что если число $a < 0$, то неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ равносильны.

Чтобы доказать, что неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ равносильны при $a < 0$, необходимо показать, что они имеют одно и то же множество решений. Это означает, что любое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. Это можно доказать, показав, что одно неравенство получается из другого с помощью равносильных преобразований.

Доказательство в одну сторону ($f(x) > g(x) \Rightarrow af(x) < ag(x)$)

Возьмем первое неравенство: $f(x) > g(x)$. Согласно одному из основных свойств неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то для сохранения верности неравенства его знак необходимо изменить на противоположный. Такое преобразование является равносильным. По условию задачи, число $a < 0$. Умножим обе части неравенства $f(x) > g(x)$ на $a$ и, согласно свойству, изменим знак $>$ на <: $a \cdot f(x) < a \cdot g(x)$ Таким образом, из неравенства $f(x) > g(x)$ следует неравенство $af(x) < ag(x)$.

Доказательство в обратную сторону ($af(x) < ag(x) \Rightarrow f(x) > g(x)$)

Теперь возьмем второе неравенство: $af(x) < ag(x)$. Свойство равносильности также работает и для деления. Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то для сохранения верности неравенства его знак также необходимо изменить на противоположный. Разделим обе части неравенства $af(x) < ag(x)$ на отрицательное число $a$. При этом знак неравенства < меняется на $>$: $\frac{af(x)}{a} > \frac{ag(x)}{a}$ После сокращения получаем: $f(x) > g(x)$ Таким образом, из неравенства $af(x) < ag(x)$ следует неравенство $f(x) > g(x)$.

Поскольку из первого неравенства следует второе, а из второго — первое, их множества решений совпадают. Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: Неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ при $a < 0$ равносильны, так как второе неравенство получается из первого путем умножения обеих его частей на отрицательное число $a$ и смены знака неравенства на противоположный, что является равносильным преобразованием.

7.18° Объясните, почему равносильны неравенства:

а) $x^2 - 2x > -1$ и $x^2 - 2x + 1 > 0;

б) $3x > 6$ и $x > 2;

в) $x^2 < 2x + 1$ и $-x^2 > -2x - 1;

г) $x^2 - 4x + 4 > 0$ и $(x - 2)^2 > 0;

д) $x^2 - 4x + 5 + 2x < 0$ и $x^2 - 2x + 5 < 0;

е) $\sqrt[3]{x} > 2$ и $x > 8;

ж) $x^7 > 3$ и $x > \sqrt[7]{3};

з) $0,1^{x^2 - 2x} > 0,1^x$ и $x^2 - 2x < x;

и) $5^{\sin x} < 5^{\cos x}$ и $\sin x < \cos x.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность в данных примерах объясняется тем, что второе неравенство получается из первого с помощью равносильных преобразований.

а) $x^2 - 2x > -1$ и $x^2 - 2x + 1 > 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 - 2x > -1$. Перенесем $-1$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный. Это равносильное преобразование, так как оно сводится к прибавлению одного и того же числа (в данном случае, 1) к обеим частям неравенства.
$x^2 - 2x + 1 > -1 + 1$
$x^2 - 2x + 1 > 0$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, данные неравенства равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем прибавления к обеим его частям числа 1, что является равносильным преобразованием.

б) $3x > 6$ и $x > 2$

Рассмотрим первое неравенство $3x > 6$. Разделим обе части неравенства на положительное число 3. Деление на положительное число является равносильным преобразованием, при котором знак неравенства сохраняется.
$\frac{3x}{3} > \frac{6}{3}$
$x > 2$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, данные неравенства равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем деления обеих его частей на положительное число 3, что является равносильным преобразованием.

в) $x^2 < 2x + 1$ и $-x^2 > -2x - 1$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 < 2x + 1$. Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-1$. Умножение на отрицательное число является равносильным преобразованием, но при этом знак неравенства меняется на противоположный.
$x^2 \cdot (-1) > (2x + 1) \cdot (-1)$
$-x^2 > -2x - 1$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, данные неравенства равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем умножения обеих его частей на отрицательное число $-1$ с изменением знака неравенства на противоположный, что является равносильным преобразованием.

г) $x^2 - 4x + 4 > 0$ и $(x - 2)^2 > 0$

Рассмотрим левую часть первого неравенства: $x^2 - 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом разности. Согласно формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, имеем:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$
Таким образом, неравенство $x^2 - 4x + 4 > 0$ можно переписать в виде $(x-2)^2 > 0$. Преобразование выражения по формуле является тождественным, а значит, равносильным.
Ответ: Левая часть первого неравенства является полным квадратом выражения $(x - 2)$, поэтому замена выражения $x^2 - 4x + 4$ на $(x - 2)^2$ является тождественным (равносильным) преобразованием.

д) $x^2 - 4x + 5 + 2x < 0$ и $x^2 - 2x + 5 < 0$

В левой части первого неравенства $x^2 - 4x + 5 + 2x < 0$ приведем подобные слагаемые: $-4x + 2x = -2x$.
$x^2 + (-4x + 2x) + 5 < 0$
$x^2 - 2x + 5 < 0$
Приведение подобных слагаемых является тождественным преобразованием, которое не меняет множество решений неравенства.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем приведения подобных слагаемых в его левой части, что является равносильным преобразованием.

е) $\sqrt[3]{x} > 2$ и $x > 8$

Рассмотрим неравенство $\sqrt[3]{x} > 2$. Функция $y = t^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому возведение обеих частей неравенства в третью степень является равносильным преобразованием, которое сохраняет знак неравенства.
$(\sqrt[3]{x})^3 > 2^3$
$x > 8$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, они равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем возведения обеих его частей в третью степень. Так как функция $y = t^3$ является монотонно возрастающей, это преобразование равносильно.

ж) $x^7 > 3$ и $x > \sqrt[7]{3}$

Рассмотрим неравенство $x^7 > 3$. Функция $y = \sqrt[7]{t}$ (корень седьмой степени) является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому извлечение корня нечетной степени из обеих частей неравенства является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.
$\sqrt[7]{x^7} > \sqrt[7]{3}$
$x > \sqrt[7]{3}$
Мы получили второе неравенство. Следовательно, они равносильны.
Ответ: Второе неравенство получено из первого путем извлечения корня седьмой степени из обеих частей. Так как функция $y = \sqrt[7]{t}$ (корень нечетной степени) является монотонно возрастающей, это преобразование равносильно.

з) $0.1^{x^2 - 2x} > 0.1^x$ и $x^2 - 2x < x$

Рассмотрим показательное неравенство $0.1^{x^2 - 2x} > 0.1^x$. Основание степени равно $0.1$, что удовлетворяет условию $0 < 0.1 < 1$. Показательная функция с основанием $a$, где $0 < a < 1$, является монотонно убывающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x^2 - 2x < x$
Это и есть второе неравенство.
Ответ: Данные неравенства равносильны, так как при решении показательного неравенства с основанием, меньшим 1 (в данном случае 0,1), знак неравенства меняется на противоположный при переходе к сравнению показателей.

и) $5^{\sin x} < 5^{\cos x}$ и $\sin x < \cos x$

Рассмотрим показательное неравенство $5^{\sin x} < 5^{\cos x}$. Основание степени равно 5, что больше 1. Показательная функция с основанием $a > 1$ является монотонно возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства сохраняется.
$\sin x < \cos x$
Это и есть второе неравенство.
Ответ: Данные неравенства равносильны, так как при решении показательного неравенства с основанием, большим 1 (в данном случае 5), знак неравенства сохраняется при переходе к сравнению показателей.

Решите неравенство (7.19—7.32):

7.19 а) $x^3 - 5x^2 + 4x > (x - 1)^3$;

б) $x^3 - 6x^2 + 9x > (x - 3)^3$;

в) $x^3 + 5x^2 - 6x - 2 < 3x^2 - 3x + 4$;

г) $2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 > x^3 - 2x$.

а) $x^3 - 5x^2 + 4x > (x - 1)^3$

Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$x^3 - 5x^2 + 4x > x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (-5x^2 + 3x^2) + (4x - 3x) + 1 > 0$

$-2x^2 + x + 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$2x^2 - x - 1 < 0$

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$, чтобы найти корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$; $x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Парабола $y = 2x^2 - x - 1$ направлена ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{1}{2} < x < 1$.

Ответ: $x \in (-0.5; 1)$.

б) $x^3 - 6x^2 + 9x > (x - 3)^3$

Раскроем скобки в правой части:

$(x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Подставим в неравенство:

$x^3 - 6x^2 + 9x > x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x^3 - x^3) + (-6x^2 + 9x^2) + (9x - 27x) + 27 > 0$

$3x^2 - 18x + 27 > 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Левая часть является полным квадратом: $(x - 3)^2$.

Получаем неравенство $(x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он равен нулю только при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$. Во всех остальных случаях квадрат положителен.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

в) $x^3 + 5x^2 - 6x - 2 < 3x^2 - 3x + 4$

Перенесем все члены из правой части в левую:

$x^3 + 5x^2 - 6x - 2 - 3x^2 + 3x - 4 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 2x^2 - 3x - 6 < 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 2x^2) - (3x + 6) < 0$

$x^2(x + 2) - 3(x + 2) < 0$

$(x^2 - 3)(x + 2) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x^2 - 3)(x + 2) = 0$.

Корни: $x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2$; $x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-2, -\sqrt{3}, \sqrt{3}$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $(x^2 - 3)(x + 2)$ на крайнем правом интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$. При $x=2$ выражение $(2^2-3)(2+2)=4 > 0$. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -2)$ - минус, $(-2; -\sqrt{3})$ - плюс, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ - минус, $(\sqrt{3}; +\infty)$ - плюс.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

г) $2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 > x^3 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 - x^3 + 2x > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2 - 2x - 6 > 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 3x^2) - (2x + 6) > 0$

$x^2(x + 3) - 2(x + 3) > 0$

$(x^2 - 2)(x + 3) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x^2 - 2)(x + 3) = 0$.

Корни: $x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$; $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-3, -\sqrt{2}, \sqrt{2}$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $(x^2 - 2)(x + 3)$ на крайнем правом интервале $(\sqrt{2}; +\infty)$. При $x=2$ выражение $(2^2-2)(2+3)=10 > 0$. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -3)$ - минус, $(-3; -\sqrt{2})$ - плюс, $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$ - минус, $(\sqrt{2}; +\infty)$ - плюс.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-3; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

7.20* a) $ \cos 2x + 3 \sin^2 x + 2 \sin x < 4 $;

б) $ \cos 2x - \cos^2 x - 2 \cos x < -2 $.

a) Решим неравенство $\cos 2x + 3\sin^2 x + 2\sin x < 4$.

Для начала приведем все тригонометрические функции к одному аргументу и одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы выразить все через $\sin x$.

Подставляем в исходное неравенство:

$(1 - 2\sin^2 x) + 3\sin^2 x + 2\sin x < 4$

Приводим подобные слагаемые:

$\sin^2 x + 2\sin x + 1 < 4$

$\sin^2 x + 2\sin x - 3 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 + 2t - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 + 2t - 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + 2t - 3 < 0$ выполняется между корнями:

$-3 < t < 1$

Теперь вернемся к переменной $x$ и учтем ограничение на $t$:

$\begin{cases} -3 < \sin x < 1 \\ -1 \le \sin x \le 1 \end{cases}$

Решением этой системы является неравенство $-1 \le \sin x < 1$.

Неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Остается решить неравенство $\sin x < 1$.

Равенство $\sin x = 1$ достигается в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, неравенство $\sin x < 1$ выполняется для всех действительных $x$, за исключением этих точек.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\cos 2x - \cos^2 x - 2\cos x < -2$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы выразить все через $\cos x$.

Подставляем в исходное неравенство:

$(2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x - 2\cos x < -2$

Приводим подобные слагаемые:

$\cos^2 x - 2\cos x - 1 < -2$

$\cos^2 x - 2\cos x + 1 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 2t + 1 < 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом:

$(t - 1)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(t-1)^2 \ge 0$ для любого $t$.

Таким образом, неравенство $(t-1)^2 < 0$ не имеет решений ни при каких значениях $t$.

Следовательно, исходное тригонометрическое неравенство также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

7.21 a) $4^x + 2^x + x^2 < x^2 + 6;$

б) $27^x + 9^x > 3^x + 6 + 27^x.$

a) Исходное неравенство: $4^x + 2^x + x^2 < x^2 + 6$.
Упростим неравенство, вычтя $x^2$ из обеих частей:
$4^x + 2^x < 6$
Представим $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2$. Неравенство примет вид:
$(2^x)^2 + 2^x - 6 < 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$t^2 + t - 6 < 0$
Для решения найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - 6 = 0$.
Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.
Графиком функции $y = t^2 + t - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $-3 < t < 2$.
Теперь учтем ограничение $t > 0$. Объединяя два условия, получаем систему:
$\begin{cases} -3 < t < 2 \\ t > 0 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $0 < t < 2$.
Выполним обратную замену $t = 2^x$:
$0 < 2^x < 2$
Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех $x$. Остается решить неравенство $2^x < 2$.
Запишем 2 как $2^1$:
$2^x < 2^1$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей, поэтому при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:
$x < 1$
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б) Исходное неравенство: $27^x + 9^x > 3^x + 6 + 27^x$.
Упростим неравенство, вычтя $27^x$ из обеих частей:
$9^x > 3^x + 6$
Перенесем все члены в левую часть:
$9^x - 3^x - 6 > 0$
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$. Неравенство примет вид:
$(3^x)^2 - 3^x - 6 > 0$
Введем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, то $y > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $y$:
$y^2 - y - 6 > 0$
Для решения найдем корни квадратного уравнения $y^2 - y - 6 = 0$.
Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, находим корни: $y_1 = -2$ и $y_2 = 3$.
Графиком функции $z = y^2 - y - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями, то есть при $y < -2$ или $y > 3$.
Теперь учтем ограничение $y > 0$. Решение $y < -2$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, остается только $y > 3$.
Выполним обратную замену $y = 3^x$:
$3^x > 3$
Запишем 3 как $3^1$:
$3^x > 3^1$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей, поэтому при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

7.22 a) $\sqrt[3]{3x^3 - 3x^2 - x + 5} > \sqrt[3]{2x^3 - 4x^2 + x + 5}$;

б) $\sqrt[3]{5x^3 - 6x^2 + 3x + 1} < \sqrt[3]{4x^3 - x^2 - 3x + 1}$.

a) $\sqrt[3]{3x^3 - 3x^2 - x + 5} > \sqrt[3]{2x^3 - 4x^2 + x + 5}$

Поскольку функция $y = \sqrt[3]{t}$ является возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений:

$3x^3 - 3x^2 - x + 5 > 2x^3 - 4x^2 + x + 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(3x^3 - 2x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (-x - x) + (5 - 5) > 0$

$x^3 + x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + x - 2) > 0$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Тогда $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.

Неравенство принимает вид:

$x(x + 2)(x - 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения $x(x + 2)(x - 1)$: $x = 0$, $x = -2$, $x = 1$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:

• При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$: $(-3)(-1)(-4) < 0$.
• При $x \in (-2, 0)$, например $x=-1$: $(-1)(1)(-2) > 0$.
• При $x \in (0, 1)$, например $x=0.5$: $(0.5)(2.5)(-0.5) < 0$.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$: $(2)(4)(1) > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-2, 0)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty)$.

б) $\sqrt[3]{5x^3 - 6x^2 + 3x + 1} < \sqrt[3]{4x^3 - x^2 - 3x + 1}$

Так как функция кубического корня является возрастающей, мы можем возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$5x^3 - 6x^2 + 3x + 1 < 4x^3 - x^2 - 3x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5x^3 - 4x^3) + (-6x^2 + x^2) + (3x + 3x) + (1 - 1) < 0$

$x^3 - 5x^2 + 6x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) < 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Неравенство примет вид:

$x(x - 2)(x - 3) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули выражения: $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$. Нанесем их на числовую ось и определим знаки в интервалах:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $(-1)(-3)(-4) < 0$.
• При $x \in (0, 2)$, например $x=1$: $(1)(-1)(-2) > 0$.
• При $x \in (2, 3)$, например $x=2.5$: $(2.5)(0.5)(-0.5) < 0$.
• При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$: $(4)(2)(1) > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, 0)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 3)$.

7.23 a) $x+1 > \sqrt[3]{x^3+2x^2-3x-4}$;

б) $x+2 < \sqrt[3]{x^3+5x^2+7x+2}$.

a) Исходное неравенство: $x + 1 > \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 - 3x - 4}$.

Поскольку функция $y=t^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, мы можем возвести обе части неравенства в куб, при этом знак неравенства сохранится. Область определения кубического корня — все действительные числа, поэтому дополнительных ограничений на $x$ нет.

$(x + 1)^3 > (\sqrt[3]{x^3 + 2x^2 - 3x - 4})^3$

Раскроем скобки в левой части и уберем корень в правой:

$x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 > x^3 + 2x^2 - 3x - 4$

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 > x^3 + 2x^2 - 3x - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(x^3 - x^3) + (3x^2 - 2x^2) + (3x + 3x) + (1 + 4) > 0$

$x^2 + 6x + 5 > 0$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции положительны (больше нуля) на промежутках, находящихся вне корней.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $x < -5$ и $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $x + 2 < \sqrt[3]{x^3 + 5x^2 + 7x + 2}$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части неравенства в третью степень, так как функция $y=t^3$ является возрастающей:

$(x + 2)^3 < (\sqrt[3]{x^3 + 5x^2 + 7x + 2})^3$

Раскроем скобки и упростим:

$x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 < x^3 + 5x^2 + 7x + 2$

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 < x^3 + 5x^2 + 7x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 5x^2) + (12x - 7x) + (8 - 2) < 0$

$x^2 + 5x + 6 < 0$

Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < -2$.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.

7.24 a) $(5x - 2)^9 < (3x - 14)^9$;

Б) $(3x - 7)^7 > (5x - 11)^7$;

В) $(x^2 - 5x)^{11} > (2x^2 - 7x)^{11}$;

Г) $(3x^2 + x)^{33} < (x^2 + 3x)^{33}$.

Все представленные неравенства имеют вид $A^n > B^n$ или $A^n < B^n$, где показатель степени $n$ — нечетное натуральное число. Функция $y = u^n$ для нечетного $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что неравенство для степеней равносильно неравенству для их оснований. То есть, если $A^n > B^n$, то $A > B$, и если $A^n < B^n$, то $A < B$.

а) $(5x - 2)^9 < (3x - 14)^9$

Поскольку показатель степени $9$ является нечетным, данное неравенство равносильно следующему линейному неравенству:

$5x - 2 < 3x - 14$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5x - 3x < -14 + 2$

$2x < -12$

Разделим обе части на 2:

$x < -6$

Ответ: $x \in (-\infty, -6)$

б) $(3x - 7)^7 > (5x - 11)^7$

Показатель степени $7$ — нечетное число, поэтому неравенство сводится к неравенству оснований:

$3x - 7 > 5x - 11$

Сгруппируем слагаемые:

$11 - 7 > 5x - 3x$

$4 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$2 > x$

Или, что то же самое:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$

в) $(x^2 - 5x)^{11} > (2x^2 - 7x)^{11}$

Так как показатель степени $11$ является нечетным, мы можем сравнить основания:

$x^2 - 5x > 2x^2 - 7x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 > 2x^2 - x^2 - 7x + 5x$

$0 > x^2 - 2x$

Это равносильно $x^2 - 2x < 0$. Для решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x = 0$:

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 2x$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0, 2)$

г) $(3x^2 + x)^{33} < (x^2 + 3x)^{33}$

Показатель степени $33$ нечетный, поэтому неравенство равносильно неравенству для оснований:

$3x^2 + x < x^2 + 3x$

Приведем неравенство к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - x^2 + x - 3x < 0$

$2x^2 - 2x < 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - x < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x = 0$:

$x(x - 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 - x$ направлена ветвями вверх, значит, она отрицательна на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$

7.25 a) $(6 \sin^2 x - 5)^{13} < (2 \sin^2 x - 2)^{13};$

б) $(6 \cos^2 x - 3)^3 > (2 \cos^2 x - 1)^3;$

в) $(2^x + 7)^9 > (3 \cdot 2^x + 1)^9;$

г) $(2 \cdot 3^x - 1)^{51} < (3^x + 8)^{51}.$

а) $(6 \sin^2 x - 5)^{13} < (2 \sin^2 x - 2)^{13}$

Так как показатель степени 13 — нечетное число, функция $y=t^{13}$ является возрастающей на всей числовой оси. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству:

$6 \sin^2 x - 5 < 2 \sin^2 x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а постоянные — в правую:

$6 \sin^2 x - 2 \sin^2 x < 5 - 2$

$4 \sin^2 x < 3$

Разделим обе части на 4:

$\sin^2 x < \frac{3}{4}$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$|\sin x| < \sqrt{\frac{3}{4}}$

$|\sin x| < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Что в свою очередь равносильно двойному неравенству:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности являются дуги, заключенные между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$, а также между $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение можно записать в виде совокупности интервалов $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Данное решение можно представить в более компактной форме, объединив серии решений:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $(6 \cos^2 x - 3)^3 > (2 \cos^2 x - 1)^3$

Показатель степени 3 — нечетное число, поэтому неравенство равносильно следующему:

$6 \cos^2 x - 3 > 2 \cos^2 x - 1$

Сгруппируем члены:

$6 \cos^2 x - 2 \cos^2 x > 3 - 1$

$4 \cos^2 x > 2$

$\cos^2 x > \frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} > \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos(2x) > 1$

$\cos(2x) > 0$

Решением этого неравенства для аргумента $2x$ является интервал:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив все части неравенства на 2, получим решение для $x$:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $(2^x + 7)^9 > (3 \cdot 2^x + 1)^9$

Поскольку показатель степени 9 — нечетное число, данное неравенство эквивалентно неравенству:

$2^x + 7 > 3 \cdot 2^x + 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

$t + 7 > 3t + 1$

Решим линейное неравенство относительно $t$:

$7 - 1 > 3t - t$

$6 > 2t$

$t < 3$

С учетом условия $t > 0$, получаем двойное неравенство $0 < t < 3$.

Вернемся к исходной переменной:

$0 < 2^x < 3$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех действительных $x$. Решим неравенство $2^x < 3$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_2(2^x) < \log_2 3$

$x < \log_2 3$

Ответ: $(-\infty; \log_2 3)$.

г) $(2 \cdot 3^x - 1)^{51} < (3^x + 8)^{51}$

Показатель степени 51 — нечетное число, поэтому неравенство равносильно:

$2 \cdot 3^x - 1 < 3^x + 8$

Введем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$2t - 1 < t + 8$

Решим полученное линейное неравенство:

$2t - t < 8 + 1$

$t < 9$

Учитывая, что $t > 0$, имеем $0 < t < 9$.

Произведем обратную замену:

$0 < 3^x < 9$

Неравенство $3^x > 0$ верно для всех $x$. Решим неравенство $3^x < 9$.

Представим 9 как степень с основанием 3:

$3^x < 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, можно перейти к сравнению показателей:

$x < 2$

Ответ: $(-\infty; 2)$.

7.26 a) $2^{2x+1} > 2^{x^2-5};$

B) $5^{2x-9} < 5^{x^2-12};$

б) $(0,3)^{2x+5} > (0,3)^{x^2+2};$

Г) $(0,5)^{4x-7} < (0,5)^{x^2-4}.$

а) $2^{x+1} > 2^{x^2-5}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак:

$x+1 > x^2-5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета (или через дискриминант):

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$

$x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Парабола $y = x^2 - x - 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-2 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-2; 3)$.

б) $(0,3)^{2x+5} > (0,3)^{x^2+2}$

Так как основание степени $0 < 0,3 < 1$, показательная функция $y=(0,3)^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x+5 < x^2+2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 = -1$, $x_2 = 3$

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$ выполняется за пределами корней.

Следовательно, $x < -1$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

в) $5^{2x-9} < 5^{x^2-12}$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$2x-9 < x^2-12$

Переносим все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Это неравенство совпадает с неравенством из пункта б). Его решения:

$x < -1$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

г) $(0,5)^{4x-7} < (0,5)^{x^2-4}$

Так как основание степени $0 < 0,5 < 1$, показательная функция $y=(0,5)^t$ является убывающей. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный:

$4x-7 > x^2-4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $1 < x < 3$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

7.27 а) $4^{2x-7} > 2^{3x+1};$

В) $7^{5x+1} < 49^{x-2};$

б) $5^{3x-1} < 25^{x+1};$

Г) $8^{x+1} > 64^x.$

а) $4^{2x-7} > 2^{3x+1}$

Для решения этого показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 2.

Поскольку $4 = 2^2$, левую часть неравенства можно переписать следующим образом:

$4^{2x-7} = (2^2)^{2x-7} = 2^{2 \cdot (2x-7)} = 2^{4x-14}$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$2^{4x-14} > 2^{3x+1}$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства:

$4x - 14 > 3x + 1$.

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$4x - 3x > 1 + 14$

$x > 15$.

Решением неравенства является интервал $(15; +\infty)$.

Ответ: $x \in (15; +\infty)$.

б) $5^{3x-1} < 25^{x+1}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

Так как $25 = 5^2$, правую часть можно преобразовать:

$25^{x+1} = (5^2)^{x+1} = 5^{2 \cdot (x+1)} = 5^{2x+2}$.

Подставим это в исходное неравенство:

$5^{3x-1} < 5^{2x+2}$.

Основание степени $a=5 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$3x - 1 < 2x + 2$.

Решаем линейное неравенство:

$3x - 2x < 2 + 1$

$x < 3$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) $7^{5x+1} < 49^{x-2}$

Приведем обе части неравенства к основанию 7.

Поскольку $49 = 7^2$, преобразуем правую часть:

$49^{x-2} = (7^2)^{x-2} = 7^{2 \cdot (x-2)} = 7^{2x-4}$.

Неравенство принимает вид:

$7^{5x+1} < 7^{2x-4}$.

Основание степени $a=7 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к показателям:

$5x + 1 < 2x - 4$.

Решаем полученное неравенство:

$5x - 2x < -4 - 1$

$3x < -5$

$x < -\frac{5}{3}$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -\frac{5}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3})$.

г) $8^{x+1} > 64^x$

Приведем обе части неравенства к общему основанию, например, 8.

Так как $64 = 8^2$, правая часть неравенства будет:

$64^x = (8^2)^x = 8^{2x}$.

Подставляем в исходное неравенство:

$8^{x+1} > 8^{2x}$.

Основание степени $a=8 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x + 1 > 2x$.

Решаем линейное неравенство:

$1 > 2x - x$

$1 > x$, что эквивалентно $x < 1$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.