Номер 7.20, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.20, страница 224.

7.20* a) $ \cos 2x + 3 \sin^2 x + 2 \sin x < 4 $;

б) $ \cos 2x - \cos^2 x - 2 \cos x < -2 $.

a) Решим неравенство $\cos 2x + 3\sin^2 x + 2\sin x < 4$.

Для начала приведем все тригонометрические функции к одному аргументу и одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы выразить все через $\sin x$.

Подставляем в исходное неравенство:

$(1 - 2\sin^2 x) + 3\sin^2 x + 2\sin x < 4$

Приводим подобные слагаемые:

$\sin^2 x + 2\sin x + 1 < 4$

$\sin^2 x + 2\sin x - 3 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 + 2t - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 + 2t - 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + 2t - 3 < 0$ выполняется между корнями:

$-3 < t < 1$

Теперь вернемся к переменной $x$ и учтем ограничение на $t$:

$\begin{cases} -3 < \sin x < 1 \\ -1 \le \sin x \le 1 \end{cases}$

Решением этой системы является неравенство $-1 \le \sin x < 1$.

Неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Остается решить неравенство $\sin x < 1$.

Равенство $\sin x = 1$ достигается в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, неравенство $\sin x < 1$ выполняется для всех действительных $x$, за исключением этих точек.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\cos 2x - \cos^2 x - 2\cos x < -2$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, чтобы выразить все через $\cos x$.

Подставляем в исходное неравенство:

$(2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x - 2\cos x < -2$

Приводим подобные слагаемые:

$\cos^2 x - 2\cos x - 1 < -2$

$\cos^2 x - 2\cos x + 1 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 2t + 1 < 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом:

$(t - 1)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(t-1)^2 \ge 0$ для любого $t$.

Таким образом, неравенство $(t-1)^2 < 0$ не имеет решений ни при каких значениях $t$.

Следовательно, исходное тригонометрическое неравенство также не имеет решений.

Ответ: решений нет.