Номер 7.15, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.15, страница 224.

7.15* Докажите утверждения:

а) о возведении неравенства в нечётную степень;

б) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей неравенства;

в) о логарифмировании показательного неравенства.

а) о возведении неравенства в нечётную степень

Нужно доказать, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ и любого нечётного натурального числа $n$ неравенство $a > b$ равносильно неравенству $a^n > b^n$. Это означает, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень знак неравенства сохраняется.

Доказательство:

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число. Эта функция определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Для того чтобы определить, как преобразование $f(x)$ влияет на неравенства, исследуем её на монотонность. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Поскольку $n$ — нечётное натуральное число, $n-1$ — чётное неотрицательное целое число. Следовательно, $x^{n-1} \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Так как $n \ge 1$, то и произведение $n \cdot x^{n-1}$ также неотрицательно, т.е. $f'(x) \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Производная обращается в ноль только в точке $x=0$.

Это означает, что функция $f(x) = x^n$ с нечётным натуральным показателем $n$ является строго возрастающей на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.

По определению строго возрастающей функции, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из её области определения, если $x_1 > x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Применим это к нашему случаю. Пусть $x_1 = a$ и $x_2 = b$. Тогда неравенство $a > b$ равносильно неравенству $f(a) > f(b)$, то есть $a^n > b^n$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно. Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную натуральную степень является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства. Это следует из того, что степенная функция $y=x^n$ с нечётным натуральным показателем $n$ строго возрастает на всей числовой оси.

б) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей неравенства

Нужно доказать, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ и любого нечётного натурального числа $n \ge 3$ неравенство $a > b$ равносильно неравенству $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$. Это означает, что при извлечении корня нечётной степени из обеих частей неравенства знак неравенства сохраняется.

Доказательство:

Данное утверждение является следствием утверждения из пункта а).

Пусть нам дано неравенство $a > b$. Обозначим $x = \sqrt[n]{a}$ и $y = \sqrt[n]{b}$. По определению корня нечётной степени (который определён для всех действительных чисел), эти равенства означают, что $a = x^n$ и $b = y^n$.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в исходное неравенство. Мы получим:

$x^n > y^n$

Мы хотим доказать, что $a > b$ равносильно $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$, что, с учётом наших обозначений, равносильно доказательству того, что $x^n > y^n$ равносильно $x > y$.

Это в точности утверждение, доказанное в пункте а): неравенство $x > y$ равносильно неравенству $x^n > y^n$ для нечётного натурального $n$.

Следовательно, утверждение об извлечении корня нечётной степени также верно. Можно было бы также доказать его через анализ монотонности функции $g(x) = \sqrt[n]{x}$, которая, как и $f(x)=x^n$ (при нечётном $n$), является строго возрастающей на $\mathbb{R}$.

Ответ: Утверждение верно. Извлечение корня одной и той же нечётной натуральной степени из обеих частей неравенства является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства. Это следует из того, что функция $y=\sqrt[n]{x}$ с нечётным натуральным показателем $n$ строго возрастает на всей числовой оси.

в) о логарифмировании показательного неравенства

Нужно доказать, что логарифмирование показательного неравенства вида $c^{f(x)} > c^{g(x)}$ (где $c>0, c \ne 1$) является равносильным преобразованием. При этом, если основание логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется, а если основание от 0 до 1 — меняется на противоположный.

Доказательство:

Рассмотрим показательное неравенство $c^{f(x)} > c^{g(x)}$. Поскольку показательная функция всегда принимает положительные значения, обе части неравенства $c^{f(x)}$ и $c^{g(x)}$ строго больше нуля. Это позволяет нам логарифмировать обе части по любому основанию $a > 0, a \ne 1$. Для удобства выберем основание логарифма равным основанию степени, то есть $a=c$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $c$.

Случай 1: Основание $c > 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_c(t)$ при $c > 1$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых положительных чисел $t_1$ и $t_2$ неравенство $t_1 > t_2$ равносильно неравенству $\log_c(t_1) > \log_c(t_2)$.

Применим это свойство к нашему неравенству, взяв $t_1 = c^{f(x)}$ и $t_2 = c^{g(x)}$.

$c^{f(x)} > c^{g(x)} \iff \log_c(c^{f(x)}) > \log_c(c^{g(x)})$

Используя основное свойство логарифма $\log_c(c^z) = z$, получаем:

$f(x) > g(x)$

Таким образом, при $c > 1$ исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

Случай 2: Основание $0 < c < 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_c(t)$ при $0 < c < 1$ является строго убывающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых положительных чисел $t_1$ и $t_2$ неравенство $t_1 > t_2$ равносильно неравенству $\log_c(t_1) < \log_c(t_2)$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Применим это свойство к нашему неравенству:

$c^{f(x)} > c^{g(x)} \iff \log_c(c^{f(x)}) < \log_c(c^{g(x)})$

Используя свойство $\log_c(c^z) = z$, получаем:

$f(x) < g(x)$

Таким образом, при $0 < c < 1$ исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) < g(x)$.

Ответ: Утверждение верно. Логарифмирование показательного неравенства $c^{f(x)} > c^{g(x)}$ по основанию $c$ является равносильным преобразованием. Исходное неравенство равносильно неравенству $f(x) > g(x)$ при $c > 1$, и неравенству $f(x) < g(x)$ при $0 < c < 1$. Это следствие свойств монотонности логарифмической функции.