Номер 7.9, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.9, страница 219.

7.9 a) $2^{2x} = 2^{x-9}$

б) $4^{2x-7} = 4^{x-1}$

в) $9^{3x-4} = 9^{x+2}$

г) $3^{3x-1} = 3^{7x-2}$

д) $25^{x+1} = 5^{x^2+3x}$

е) $16^{x-1} = 4^{x^2-x}$

а) В уравнении $2^{2x} = 2^{x-9}$ основания степеней одинаковы. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней, чтобы найти решение.

$2x = x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$2x - x = -9$

$x = -9$

Ответ: $-9$.

б) В уравнении $4^{2x-7} = 4^{x-1}$ основания степеней также одинаковы. Приравниваем показатели степеней:

$2x - 7 = x - 1$

Соберем переменные в левой части, а константы в правой:

$2x - x = 7 - 1$

$x = 6$

Ответ: $6$.

в) Дано уравнение $9^{3x-4} = 9^{x+2}$. Основания степеней равны, поэтому приравниваем их показатели:

$3x - 4 = x + 2$

Переносим переменные влево, числа вправо:

$3x - x = 2 + 4$

$2x = 6$

Делим обе части на 2:

$x = 3$

Ответ: $3$.

г) В уравнении $3^{3x-1} = 3^{7x-2}$ основания степеней равны. Приравниваем показатели:

$3x - 1 = 7x - 2$

Сгруппируем слагаемые:

$2 - 1 = 7x - 3x$

$1 = 4x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{4}$ или $x = 0.25$

Ответ: $0.25$.

д) Дано уравнение $25^{x+1} = 5^{x^2+3x}$. Чтобы решить его, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $25 = 5^2$.

Подставим это в уравнение:

$(5^2)^{x+1} = 5^{x^2+3x}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{2(x+1)} = 5^{x^2+3x}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$2(x+1) = x^2+3x$

$2x + 2 = x^2 + 3x$

Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 2x - 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-2$, а их сумма равна $-1$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверка: $1 \cdot (-2) = -2$; $1 + (-2) = -1$. Корни найдены верно.

Ответ: $-2; 1$.

е) Дано уравнение $16^{x-1} = 4^{x^2-x}$. Приведем обе части к основанию 4, так как $16 = 4^2$.

$(4^2)^{x-1} = 4^{x^2-x}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$4^{2(x-1)} = 4^{x^2-x}$

Основания равны, приравниваем показатели:

$2(x-1) = x^2-x$

$2x - 2 = x^2 - x$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - x - 2x + 2 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $2$, сумма корней равна $3$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверка: $1 \cdot 2 = 2$; $1 + 2 = 3$. Корни найдены верно.

Ответ: $1; 2$.