Номер 7.2, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.2, страница 218.

7.2* Докажите утверждения:

а) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей уравнения;

б) о логарифмировании показательного уравнения.

а) об извлечении корня нечётной степени из обеих частей уравнения;

Чтобы доказать данное утверждение, необходимо показать, что преобразование уравнения вида $f(x) = g(x)$ в уравнение $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$, где $k$ — нечётное натуральное число, является равносильным. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Докажем, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот.

1. Докажем, что из $f(x) = g(x)$ следует $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$. Функция $y(t) = \sqrt[k]{t}$ для нечётного $k$ определена для всех действительных чисел $t$. Если два числа равны, то и корни нечётной степени из этих чисел равны. Следовательно, из $f(x_0) = g(x_0)$ следует, что $\sqrt[k]{f(x_0)} = \sqrt[k]{g(x_0)}$. Это означает, что $x_0$ также является решением уравнения $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$.

2. Докажем, что из $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$ следует $f(x) = g(x)$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $\sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{g(x)}$. Это означает, что при подстановке $x_0$ мы получаем верное числовое равенство: $\sqrt[k]{f(x_0)} = \sqrt[k]{g(x_0)}$. Возведём обе части этого равенства в степень $k$. Так как $k$ — нечётное число, функция $y(t) = t^k$ является строго монотонной (возрастающей) на всей числовой оси. Это свойство гарантирует, что если $a=b$, то и $a^k=b^k$. Таким образом, мы получаем $(\sqrt[k]{f(x_0)})^k = (\sqrt[k]{g(x_0)})^k$. По определению арифметического корня нечётной степени, это равенство эквивалентно $f(x_0) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ также является решением исходного уравнения $f(x) = g(x)$.

Поскольку мы показали, что множества решений обоих уравнений совпадают, преобразование является равносильным.

Ответ: Утверждение доказано.

б) о логарифмировании показательного уравнения.

Чтобы доказать данное утверждение, необходимо показать, что преобразование показательного уравнения вида $f(x) = g(x)$ (где по определению показательной функции $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ на всей области определения уравнения) в уравнение $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$ (где $c>0$, $c \ne 1$) является равносильным.

1. Докажем, что из $f(x) = g(x)$ следует $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что $f(x_0) = g(x_0)$. Так как для показательного уравнения обе его части всегда положительны, то $f(x_0) > 0$ и $g(x_0) > 0$. Логарифмическая функция $y(t) = \log_c(t)$ определена для всех $t > 0$. Если два положительных числа равны, то и их логарифмы по одному и тому же основанию $c$ равны. Следовательно, из $f(x_0) = g(x_0)$ следует $\log_c(f(x_0)) = \log_c(g(x_0))$. Это означает, что $x_0$ также является решением уравнения $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$.

2. Докажем, что из $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$ следует $f(x) = g(x)$.
Пусть $x_0$ — некоторое решение уравнения $\log_c(f(x)) = \log_c(g(x))$. Это означает, что $\log_c(f(x_0)) = \log_c(g(x_0))$. Из определения логарифма следует, что $f(x_0) > 0$ и $g(x_0) > 0$. Логарифмическая функция $y(t) = \log_c(t)$ является строго монотонной на всей своей области определения $(0; +\infty)$. Это означает, что она взаимно-однозначна, то есть, если $\log_c(a) = \log_c(b)$, то $a = b$. Применяя это свойство к нашему равенству, получаем $f(x_0) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ также является решением исходного уравнения $f(x) = g(x)$.

Поскольку множества решений исходного и преобразованного уравнений совпадают, логарифмирование обеих частей показательного уравнения является равносильным преобразованием.

Ответ: Утверждение доказано.